¿Por qué la fuerza es causa de movimiento?

No siempre. Cuando arrojas un gas por tu ano (de eso sabrás mucho) por más fuerza que hagas nunca sales disparado para adelante.

Voy a empezar por responderte a tu segunda pregunta. En mecánica clásica tenemos una simple ley que nos relaciona el movimiento con la fuerza. Esta es la ley de Newton. Dice así:
F=ma
Esto es, que una fuerza imprime una aceleración a un cuerpo. Pero si a otro cuerpo de masa doble le aplicamos la misma fuerza, la aceleración será la mitad. Es decir: la masa es la proporción entre la aceleración y la fuerza.
Pero esto no responde exactamente tu pregunta. Tu pregunta es ¿Qué relación hay entre fuerza y masa? Pues la respuesta es que ninguna. La relación está entre fuerza y aceleración (ahí interviene la masa). Pero nada te impide tener cuerpos de cualquier masa, y hacer sobre ellos cualquier fuerza. Sin ofender, creo que tu pregunta está mal enfocada.
El peso se define como la fuerza que hace el campo gravitatorio de la tierra cerca de la superficie:
P=F=mg
Donde g=9.8 newton partido metro al cuadrado
Por tanto, dos cuerpos de igual masa pesan lo mismo.
A la ultima pregunta la respuesta es que no. La ley de hooke es un modelo sencillo pero que no siempre es cierto. Por ejemplo, las vigas de metal cumplen la ley de hook cuando la fuerza que aplicamos es pequeña, pero si aumentamos mucho la fuerza la ley de hook no se cumple y eventualmente la viga se rompe. Romperse no está en la ley de hooke, por lo que a altas fuerzas no se cumple la ley de hooke en vigas.
Hay materiales que no cumplen la ley de hooke para ninguna fuerza.