De un resorte
De un resorte en posición vertical pende un cuerpo de 2 Kg. Cuando se le agrega una masa adicional de 20 g el resorte se alarga 2 cm. En estas condiciones y estando en reposo se quita la masa adicional. A) Demostrar que el sistema adquiere un movimiento armónico simple b) Calcular la frecuencia de oscilación c) Calcular la energía total del sistema oscilante
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Inicialmente tomaremos el origen en el extremo del muelle antes de colgar ninguna de las masas.
Posteriormente colgamos poco a poco una masa M=2Kg, sin dejarlo oscilar. En tal caso la masa hará estirarse el muelle, de forma que aplicando la ley de Hooke, tendremos
K*alargamiento1=M*g
alargamiento1=M*g/K
Es decir se consigue un equilibrio a una distancia de Mg/K debajo de la posición inicial del extremo del muelle.
Colocamos ahora nuevamente una nueva masa m=20gr=0.02Kg, sin dejarlo oscilar, de forma que el muelle vuelve a alargarse otros 2cm=0.02m, y el alargamiento total será
alargamiento2=alargamiento1+0.02
Nuevamente aplicando la ley de Hooke
K*alargamiento2=(M+m)*g
K*(alargamiento1+0.02)=M*g+m*g
K*alargamiento1 + K*0.02 = M*g + m*g
Pero como K*alargamiento1=M*g
M*g + K*0.02 = M*g + m*g
K*0.02=m*g
K*0.02=0.02*9.8
K=0.02*9.8/9.8=9.8 Nw/m
Y ya tenemos la constante del muelle.
En ese instante, el sistema está en equilibrio, y el peso hacia abajo debido a M y m se equilibra con la fuerza recuperadora del muelle hacia arriba.
Ahora quitamos la masa de 20 gr. En este caso se rompe el equilibrio, pues al disminuir el peso, y no cambiar la fuerza recuperadora del muelle, la fuerza que le tira hacia arriba será mayor que el peso, y aparacerá una aceleración hacia arriba
Tomando el eje hacia arriba, y según la ecuación fundamental de la dinámica sobre el cuerpo M=2 Kg
Frecuperadora-M*g = M*a
y como según la ley de Hooke, la fuerza recuperadora (que no es constante)
Frecuperadora=-K*y ( y es negativa, pues estamos bajo el eje, y -K*y >0, hacia arriba)
-K*y-M*g=M*a
M*a+K*y+M*g=0
Como la aceleración es la derivada de V
a=dV/dt=V'
y la velocidad es la derivada de y
V=dy/dt=y'
Entonces la aceleración será
a=d[dV/dt]/dt=y''
Nos queda la ecuación diferencial
M*y''+ K*y + M*g = 0
o dividiendo entre M
y''+ (K/m)*y + g = 0
Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Para resolverla hemos de encontrar una solución del caso homogéneo yh y una solución particular yp, y la solución general será
y(t)=yh + yp
... continúa...
Posteriormente colgamos poco a poco una masa M=2Kg, sin dejarlo oscilar. En tal caso la masa hará estirarse el muelle, de forma que aplicando la ley de Hooke, tendremos
K*alargamiento1=M*g
alargamiento1=M*g/K
Es decir se consigue un equilibrio a una distancia de Mg/K debajo de la posición inicial del extremo del muelle.
Colocamos ahora nuevamente una nueva masa m=20gr=0.02Kg, sin dejarlo oscilar, de forma que el muelle vuelve a alargarse otros 2cm=0.02m, y el alargamiento total será
alargamiento2=alargamiento1+0.02
Nuevamente aplicando la ley de Hooke
K*alargamiento2=(M+m)*g
K*(alargamiento1+0.02)=M*g+m*g
K*alargamiento1 + K*0.02 = M*g + m*g
Pero como K*alargamiento1=M*g
M*g + K*0.02 = M*g + m*g
K*0.02=m*g
K*0.02=0.02*9.8
K=0.02*9.8/9.8=9.8 Nw/m
Y ya tenemos la constante del muelle.
En ese instante, el sistema está en equilibrio, y el peso hacia abajo debido a M y m se equilibra con la fuerza recuperadora del muelle hacia arriba.
Ahora quitamos la masa de 20 gr. En este caso se rompe el equilibrio, pues al disminuir el peso, y no cambiar la fuerza recuperadora del muelle, la fuerza que le tira hacia arriba será mayor que el peso, y aparacerá una aceleración hacia arriba
Tomando el eje hacia arriba, y según la ecuación fundamental de la dinámica sobre el cuerpo M=2 Kg
Frecuperadora-M*g = M*a
y como según la ley de Hooke, la fuerza recuperadora (que no es constante)
Frecuperadora=-K*y ( y es negativa, pues estamos bajo el eje, y -K*y >0, hacia arriba)
-K*y-M*g=M*a
M*a+K*y+M*g=0
Como la aceleración es la derivada de V
a=dV/dt=V'
y la velocidad es la derivada de y
V=dy/dt=y'
Entonces la aceleración será
a=d[dV/dt]/dt=y''
Nos queda la ecuación diferencial
M*y''+ K*y + M*g = 0
o dividiendo entre M
y''+ (K/m)*y + g = 0
Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Para resolverla hemos de encontrar una solución del caso homogéneo yh y una solución particular yp, y la solución general será
y(t)=yh + yp
... continúa...
1º caso homogéneo
-----------------
La ecuación homogénea será
y''+(K/m)*y = 0
Probaremos una solución del tipo
y(t)=A*sen(W*t+Phio)
Entonces
y'=A*W*cos(W*t+Phio)
y''=-A*W^2*sen(Wt+Phio)
Sustituyendo en la ecuación
y''+(K/m)*y = 0
-A*W^2*sen(Wt+Phio)+(K/m)*A*sen(W*t+Phio) = 0
[-W^2+(K/M)]*sen(W*t+Phio) = 0
Pero como la sinusoidal es variable con el tiempo, no puede ser nula siempre, con lo que
-W^2+(K/M) = 0
W^2 = K/M
Es decir, la solución del sistema homogéneo es un M.V.A.S con frecuencia angular
W=sqrt(K/M)=sqrt(9.8/2)=2.21 rad/sg
2º Caso Particular
------------------
y''+ (K/m)*y + g = 0
Probamos una solución constante
yp=cte
y'=0
y''=0
Luego
(K/M)*cte + g = 0
(K/M)*cte = -g
cte = -M*g/K
Luego la solución particular es
yp= - M*g/K
La solución final será
y(t) = yh + yp
y(t) = A*sen(W*t+Phio) - M*g/K
Pero como
M*g/K = alargamiento1
Lo que nos queda es un movimiento armónico tal que el punto de equilibrio está justo en el punto en que estaba la masa M una vez colgado los 2Kg, antes de colgar los 20 gr
Es decir nos queda un M.V.A.ES alrededor del punto en que se situaba la masa antes de colocar los 20 gr, con
A=3cm
W=sqrt(K/M)=2.21 rad/sg
La frecuencia de oscilación será
f=W/(2PI)=2.21/(2*Pi)=0.35 Hz
La energía total de un M.V.A.ES, es una constante ( no así la Energía cinética ni la potencial), de valor
E=(1/2)*M*W^2*A^2
E=(1/2)*K*A^2
E=(1/2)*9.8*(0.03)^2
E=0.00441 J
Por cierto, en una respuesta anterior me hablabas de una solución que según tú no era correcta. Era sobre el valor de una fuerza, en la que me comentabas que la solución que tenías era la misma pero con el signo intercambiado. He de aclarar que las magnitudes que estamos midiendo: elongación, velocidad, aceleración, fuerza, son magnitudes vectoriales, y aunque aquí las estemos tratando de forma escalar, el signo nos indica la dirección. Quiero decir con ello, que el hecho de que una magnitud sea positiva o negativa depende de cómo se hayan tomado los ejes en el problema, y eso es algo arbitrario que podemos elegir. En el caso del problema anterior, creo que había tomado el sentido positivo hacia arriba, de forma que si la fuerza nos resulta negativa, lo único que ésto quiere decir es que el sentido de la fuerza es hacia abajo. Si se hubiera tomado el eje hacia abajo, el resultado es el mismo, pero en este caso con valor positivo ( mismo sentido que el eje), y ambos planteamientos son correctos ( en el fondo es el mismo, salvo la interpretación de lo que es posotivo o negativo)
-----------------
La ecuación homogénea será
y''+(K/m)*y = 0
Probaremos una solución del tipo
y(t)=A*sen(W*t+Phio)
Entonces
y'=A*W*cos(W*t+Phio)
y''=-A*W^2*sen(Wt+Phio)
Sustituyendo en la ecuación
y''+(K/m)*y = 0
-A*W^2*sen(Wt+Phio)+(K/m)*A*sen(W*t+Phio) = 0
[-W^2+(K/M)]*sen(W*t+Phio) = 0
Pero como la sinusoidal es variable con el tiempo, no puede ser nula siempre, con lo que
-W^2+(K/M) = 0
W^2 = K/M
Es decir, la solución del sistema homogéneo es un M.V.A.S con frecuencia angular
W=sqrt(K/M)=sqrt(9.8/2)=2.21 rad/sg
2º Caso Particular
------------------
y''+ (K/m)*y + g = 0
Probamos una solución constante
yp=cte
y'=0
y''=0
Luego
(K/M)*cte + g = 0
(K/M)*cte = -g
cte = -M*g/K
Luego la solución particular es
yp= - M*g/K
La solución final será
y(t) = yh + yp
y(t) = A*sen(W*t+Phio) - M*g/K
Pero como
M*g/K = alargamiento1
Lo que nos queda es un movimiento armónico tal que el punto de equilibrio está justo en el punto en que estaba la masa M una vez colgado los 2Kg, antes de colgar los 20 gr
Es decir nos queda un M.V.A.ES alrededor del punto en que se situaba la masa antes de colocar los 20 gr, con
A=3cm
W=sqrt(K/M)=2.21 rad/sg
La frecuencia de oscilación será
f=W/(2PI)=2.21/(2*Pi)=0.35 Hz
La energía total de un M.V.A.ES, es una constante ( no así la Energía cinética ni la potencial), de valor
E=(1/2)*M*W^2*A^2
E=(1/2)*K*A^2
E=(1/2)*9.8*(0.03)^2
E=0.00441 J
Por cierto, en una respuesta anterior me hablabas de una solución que según tú no era correcta. Era sobre el valor de una fuerza, en la que me comentabas que la solución que tenías era la misma pero con el signo intercambiado. He de aclarar que las magnitudes que estamos midiendo: elongación, velocidad, aceleración, fuerza, son magnitudes vectoriales, y aunque aquí las estemos tratando de forma escalar, el signo nos indica la dirección. Quiero decir con ello, que el hecho de que una magnitud sea positiva o negativa depende de cómo se hayan tomado los ejes en el problema, y eso es algo arbitrario que podemos elegir. En el caso del problema anterior, creo que había tomado el sentido positivo hacia arriba, de forma que si la fuerza nos resulta negativa, lo único que ésto quiere decir es que el sentido de la fuerza es hacia abajo. Si se hubiera tomado el eje hacia abajo, el resultado es el mismo, pero en este caso con valor positivo ( mismo sentido que el eje), y ambos planteamientos son correctos ( en el fondo es el mismo, salvo la interpretación de lo que es posotivo o negativo)
