Electromagnetismo
Tengo unas dudas con estos problemas de electromagnetismo
Dos pequeñas esferas de plata, cada una con 100 g de masa, están separadas 1.0 m. Calcule la fracción de los electrones de una esfera que deben transferirse a la otra para producir una fuerza actractiva de 1.0 x 10^4 N (aproximadamente una tonelada) entre las esferas. (El numero de electrones por átomo de plata es 47, y el numero de átomos por gramo es el numero de avogrado dividido por la masa molar de la plata, 107.87)
En este problema calcule los electrones que tienen las esferas con regla de tres pero al utilizar la ley de coulomb para calcular cuantos electrones se transfieren me salen más de los que tienen las esferas.
Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14 cm de largo se dobla en forma de semicírculo, ¿si la barra tiene una carga total de? 7.5microC encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en O, el centro del semicírculo.
En este problema mire los vectores de campo que salen del extremo de la barra hacia el semicírculo y se anula el campo pero creo que mi deducción esta mal.
¿Una carga puntual se localiza en el centro de un anillo uniforme que tiene la densidad de carga lineal? ¿Miu? (No se como sacarlo en ascill) y radio . Determine el flujo eléctrico total a través de la esfera centrada en la carga puntual y que tiene radio R donde R<a.
Aquí calcule con ley de gauss usando la fórmula de superficie de la esfera y la densidad de carga del anillo pero creo que no es así el problema pero es la única solución que le vi
Si el campo eléctrico constante tiene una magnitud E subcero, calcule el flujo eléctrico total a través de la superficie paraboloide.(La superficie paraboloide esta sobre el eje y y el flujo eléctrico entra con esta misma dirección)
Aquí no se como es la fórmula de una superficie paraboloide para calcular el flujo con ley de gauss.
¿Una linea de carga infinitamente larga que tiene una carga uniforme por unidad de longitud? ¿Miu? Se encuentra a una distancia de de un punto O, determine el flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera de radio R centrada en O ( sugerencia: considere tanto R<d como R>d).
Aquí lo plantee como el ejercicio de la esfera
Dos pequeñas esferas de plata, cada una con 100 g de masa, están separadas 1.0 m. Calcule la fracción de los electrones de una esfera que deben transferirse a la otra para producir una fuerza actractiva de 1.0 x 10^4 N (aproximadamente una tonelada) entre las esferas. (El numero de electrones por átomo de plata es 47, y el numero de átomos por gramo es el numero de avogrado dividido por la masa molar de la plata, 107.87)
En este problema calcule los electrones que tienen las esferas con regla de tres pero al utilizar la ley de coulomb para calcular cuantos electrones se transfieren me salen más de los que tienen las esferas.
Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14 cm de largo se dobla en forma de semicírculo, ¿si la barra tiene una carga total de? 7.5microC encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en O, el centro del semicírculo.
En este problema mire los vectores de campo que salen del extremo de la barra hacia el semicírculo y se anula el campo pero creo que mi deducción esta mal.
¿Una carga puntual se localiza en el centro de un anillo uniforme que tiene la densidad de carga lineal? ¿Miu? (No se como sacarlo en ascill) y radio . Determine el flujo eléctrico total a través de la esfera centrada en la carga puntual y que tiene radio R donde R<a.
Aquí calcule con ley de gauss usando la fórmula de superficie de la esfera y la densidad de carga del anillo pero creo que no es así el problema pero es la única solución que le vi
Si el campo eléctrico constante tiene una magnitud E subcero, calcule el flujo eléctrico total a través de la superficie paraboloide.(La superficie paraboloide esta sobre el eje y y el flujo eléctrico entra con esta misma dirección)
Aquí no se como es la fórmula de una superficie paraboloide para calcular el flujo con ley de gauss.
¿Una linea de carga infinitamente larga que tiene una carga uniforme por unidad de longitud? ¿Miu? Se encuentra a una distancia de de un punto O, determine el flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera de radio R centrada en O ( sugerencia: considere tanto R<d como R>d).
Aquí lo plantee como el ejercicio de la esfera
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Vayamos por partes
1ºEn primer lugar calculamos la carga de cada esfera para que se atraigan con esa fuerza.
Según la ley de Coulomb, las esferas cargadas con una carga QUE y -Q, separadas 1 m se atraerán con una fuerza
F=K*Q*Q/d^2
F=K*Q^2/d^2
Q^2=F*d^2/K
Q=raiz[F*d^2/K]
siendo:
F=10^4 Nw --> Fuerza de atracción
d=1m --> Distancia entre ellas
K=9*10^9 Nw*m^2/C^2 --> constante ( si estamos en el vacío)
Q=raiz[10^4*1^2/9*10^9]=1.054*10^-3 C
Esta será la carga que tendrá cada una de las esferas.
Esa carga se conseguirá quitando n electrones a una de ellas (con lo cual adquiere carga positiva), y traspasándoselos a la otra ( que adquirirá una carga negativa)
Calculemos cuantos electrones le he de quitar a una de ellas. Para ello calculamos cuántos protones y electrones contiene.
La esfera tiene una masa de 100 gr, con lo cual el número de moles de átomos será
n=m/Ma
n --> número de moles de átomos
m=100 gr --> masa de la esfera
Ma=107.87 --> Masa atómica de la plata
n=m/Ma=100/107.87=0.927 moles de átomos
Como cada mol de átomos tiene NA=6.02*10^23 átomos (número de Avogadro)
0.927*6.02*10^23=5.58*10^23 átomos de plata
Ahora tenemos en cuenta que al ser el número atómico de la plata 47, eso significa que cada átomo tiene 47 electrones y 47 protones, con lo cual tendremos
5.58*10^23*47= 2.62*10^25 electrones
y a su vez
2.62*10^25 protones, para que la carga neta sea nula
Teniendo en cuenta que la carga del electrón es de 1.6*10^-19 C, si le quitamos n electrones, la esfera se quedará cargada con una carga negativa
n*1.6*10^-19 C
y como queremos que adquiera una carga de 1.054*10^-3 C, entonces
n*1.6*10^-19=1.054*10^-3
n=1.054*10^-3/1.6*10^-19=6.59*10^15 electrones le hemos de arrancar
Eso son electrones que hemos de arrancar de los 2.622972096*10^25 que hay, o sea prácticamente casi nada
La proporción es practicamente nula, y su valor será del
100---2.62*10^25
x-----6.59*10^15
x=2.5*10^-8 %
Esto es lógico, pues la carga mayor que puede adquirir la esfera, o sea arrancando todos los electrones, es de
2.62*10^25*1.6*10^-19=4196755 C, y sólo queremos 1.054*10^-3 C, o sea que hay electrones de sobra
Sólo decir que evidentemente se han despreciado atracciones gravitatorias.
... Continúa
1ºEn primer lugar calculamos la carga de cada esfera para que se atraigan con esa fuerza.
Según la ley de Coulomb, las esferas cargadas con una carga QUE y -Q, separadas 1 m se atraerán con una fuerza
F=K*Q*Q/d^2
F=K*Q^2/d^2
Q^2=F*d^2/K
Q=raiz[F*d^2/K]
siendo:
F=10^4 Nw --> Fuerza de atracción
d=1m --> Distancia entre ellas
K=9*10^9 Nw*m^2/C^2 --> constante ( si estamos en el vacío)
Q=raiz[10^4*1^2/9*10^9]=1.054*10^-3 C
Esta será la carga que tendrá cada una de las esferas.
Esa carga se conseguirá quitando n electrones a una de ellas (con lo cual adquiere carga positiva), y traspasándoselos a la otra ( que adquirirá una carga negativa)
Calculemos cuantos electrones le he de quitar a una de ellas. Para ello calculamos cuántos protones y electrones contiene.
La esfera tiene una masa de 100 gr, con lo cual el número de moles de átomos será
n=m/Ma
n --> número de moles de átomos
m=100 gr --> masa de la esfera
Ma=107.87 --> Masa atómica de la plata
n=m/Ma=100/107.87=0.927 moles de átomos
Como cada mol de átomos tiene NA=6.02*10^23 átomos (número de Avogadro)
0.927*6.02*10^23=5.58*10^23 átomos de plata
Ahora tenemos en cuenta que al ser el número atómico de la plata 47, eso significa que cada átomo tiene 47 electrones y 47 protones, con lo cual tendremos
5.58*10^23*47= 2.62*10^25 electrones
y a su vez
2.62*10^25 protones, para que la carga neta sea nula
Teniendo en cuenta que la carga del electrón es de 1.6*10^-19 C, si le quitamos n electrones, la esfera se quedará cargada con una carga negativa
n*1.6*10^-19 C
y como queremos que adquiera una carga de 1.054*10^-3 C, entonces
n*1.6*10^-19=1.054*10^-3
n=1.054*10^-3/1.6*10^-19=6.59*10^15 electrones le hemos de arrancar
Eso son electrones que hemos de arrancar de los 2.622972096*10^25 que hay, o sea prácticamente casi nada
La proporción es practicamente nula, y su valor será del
100---2.62*10^25
x-----6.59*10^15
x=2.5*10^-8 %
Esto es lógico, pues la carga mayor que puede adquirir la esfera, o sea arrancando todos los electrones, es de
2.62*10^25*1.6*10^-19=4196755 C, y sólo queremos 1.054*10^-3 C, o sea que hay electrones de sobra
Sólo decir que evidentemente se han despreciado atracciones gravitatorias.
... Continúa
2º Tu deducción es correcta en parte.
Si tomas el campo creado por los extremos de la barra en el centro del semicírculo, nos darían dos vectores de la misma dirección, igual módulo y diferente sentido, con lo cual se anularía.
Lo que pasa es que sólo tienes en cuenta la contribución de los extremos, y no todos los puntos de la barra.
En cualquier caso, cada punto de la barra provoca un pequeño campo cuya componente horizontal es anulada por el punto simétrico a él al otro lado del radio que une el centro con el punto más bajo del semicírculo (pues tiene una componente horizontal igual pero de sentido contrario), con lo cual finalmente el campo tiene dirección vertical.
Para resolver éste problema hemos de recurrir al cálculo integral.
Tomamos el centro de coordenadas en el centro del semicírculo. Por comodidad, supongamos que es R el radio ( que luego pondremos en función de la longitud L)
Tomamos un elemento diferencial dq del semicírculo ( en mi dibujo el semicírculo lo tomo hacia abajo), con lo cual al estar a una distancia R del centro, el campo diferencial creado será de
dE=K*dq/R^2
Pero como sólo nos interesa la componente vertical (la horizontal se anulará a la hora de sumar todas las contribuciones de todos los puntos), si llamamos @ al ángulo que forma la componente y del campo con el eje Y
dEy=K*dq/R^2 * cos@
Como hay dos variables @ y dq, ponemos todo en función del ángulo
Sea de la densidad lineal de carga, sabemos que
d=dq/dl --> dq=d*dl
Pero por trigonometría
dl=R*d@ -->dq=d*R*d@
Luego
dEy=K*dq/R^2 * cos@
dEy=K*d*R*d@/R^2 * cos@
dEy=K*d/R * cos@ * d@
Integrando
Ey=K*d/R * Int[cos@*d@]
Ey=K*d/R * [sen@]
Los límites de integración son los ángulos desde un extremo (@=-90º), al otro (@=90º)
luego la integral queda
[sen@]=sen90 - sen(-90)=1-(-1)=2
Luego
Ey=2*K*d/R
Eliminando ahora la densidad lineal
d=dq/dl= Q/L, con L=Longitud
Por otra parte, L es la longitud del semicírculo, L=Pi*L
Ey=[2*K*Q]/[L*R]
Ey=[2*K*Q]/[Pi*L^2]
y ese será el campo
Sustituyendo los datos
K=9*10^9 Nw*m^2/C^2
Q=7.5 uC=7.5*10^-6 C
L=14 cm=0.14 m
Ey=[2*9*10^9*7.5*10^-6]/[Pi*0.14^2]=2.19*10^6 Nw/C
Repasa los cálculos
... Continúa
Si tomas el campo creado por los extremos de la barra en el centro del semicírculo, nos darían dos vectores de la misma dirección, igual módulo y diferente sentido, con lo cual se anularía.
Lo que pasa es que sólo tienes en cuenta la contribución de los extremos, y no todos los puntos de la barra.
En cualquier caso, cada punto de la barra provoca un pequeño campo cuya componente horizontal es anulada por el punto simétrico a él al otro lado del radio que une el centro con el punto más bajo del semicírculo (pues tiene una componente horizontal igual pero de sentido contrario), con lo cual finalmente el campo tiene dirección vertical.
Para resolver éste problema hemos de recurrir al cálculo integral.
Tomamos el centro de coordenadas en el centro del semicírculo. Por comodidad, supongamos que es R el radio ( que luego pondremos en función de la longitud L)
Tomamos un elemento diferencial dq del semicírculo ( en mi dibujo el semicírculo lo tomo hacia abajo), con lo cual al estar a una distancia R del centro, el campo diferencial creado será de
dE=K*dq/R^2
Pero como sólo nos interesa la componente vertical (la horizontal se anulará a la hora de sumar todas las contribuciones de todos los puntos), si llamamos @ al ángulo que forma la componente y del campo con el eje Y
dEy=K*dq/R^2 * cos@
Como hay dos variables @ y dq, ponemos todo en función del ángulo
Sea de la densidad lineal de carga, sabemos que
d=dq/dl --> dq=d*dl
Pero por trigonometría
dl=R*d@ -->dq=d*R*d@
Luego
dEy=K*dq/R^2 * cos@
dEy=K*d*R*d@/R^2 * cos@
dEy=K*d/R * cos@ * d@
Integrando
Ey=K*d/R * Int[cos@*d@]
Ey=K*d/R * [sen@]
Los límites de integración son los ángulos desde un extremo (@=-90º), al otro (@=90º)
luego la integral queda
[sen@]=sen90 - sen(-90)=1-(-1)=2
Luego
Ey=2*K*d/R
Eliminando ahora la densidad lineal
d=dq/dl= Q/L, con L=Longitud
Por otra parte, L es la longitud del semicírculo, L=Pi*L
Ey=[2*K*Q]/[L*R]
Ey=[2*K*Q]/[Pi*L^2]
y ese será el campo
Sustituyendo los datos
K=9*10^9 Nw*m^2/C^2
Q=7.5 uC=7.5*10^-6 C
L=14 cm=0.14 m
Ey=[2*9*10^9*7.5*10^-6]/[Pi*0.14^2]=2.19*10^6 Nw/C
Repasa los cálculos
... Continúa
3 Este es sencillo y sólo has de aplicar el teorema de Gauss, una de las cuatro ecuaciones de Maxwell.
Dicho teorema indica que el flujo que atraviesa una superficie cerrada, es igual a la carga encerrada en dicha superficie dicidida entre la constante dieléctrica del medio Eo
En nuestro caso, como dentro de la esfera sólo se encuentra la carga QUE, pues el anillo rodea a la esfera, y no hay carga del anillo dentro de la esfera, el problema se reduce a la carga puntual
flujo =Q/Eo
El anillo no influye, pues al estar fuera, el anillo crea tanto flujo entrante como saliente, con lo cual se anula el flujo eléctrico del anillo, y sólo hay que considerar el de la carga puntual.
...
Continúa
Dicho teorema indica que el flujo que atraviesa una superficie cerrada, es igual a la carga encerrada en dicha superficie dicidida entre la constante dieléctrica del medio Eo
En nuestro caso, como dentro de la esfera sólo se encuentra la carga QUE, pues el anillo rodea a la esfera, y no hay carga del anillo dentro de la esfera, el problema se reduce a la carga puntual
flujo =Q/Eo
El anillo no influye, pues al estar fuera, el anillo crea tanto flujo entrante como saliente, con lo cual se anula el flujo eléctrico del anillo, y sólo hay que considerar el de la carga puntual.
...
Continúa
El último problema es similar al anterior
Si R<d, es similar al problema anterior, el conductor no atraviesa la esfera, con lo que no hay carga encerrada dentro de la esfera, y el flujo sería nulo
Si R<d, entonces el conductor atraviesa la esfera, y por trigonometría habría que calcular la longitud que está dentro de la esfera.
Si hacemos el dibujo, vemos que como de se mide siempre sobre la perpendicular entre O y el hilo, se forma un triángulo rectángulo de catetos l/2 y de, y de hipotenusa R.
Así pues, por Pitágoras
R^2=d^2+(l/2)^4
R^2-d^2=l^2/4
l^2=4*(R^2-d^2)
l=2*Raiz[R^2-d^2]
Así pues, la carga encerrada es
nu=Q/l-->Q=l*nu
el el flujo será
flujo=Q/Eo=l*nu/Eo
flujo=2*Raiz[R^2-d^2]*nu/Eo
Nuevamente repasa los cálculos
En cuanto al problema del paraboloide, no especificas la dirección del campo.
En cualquier caso aquí no puedes aplicar el teorema de Gauss, pues el paraboloide no es una superficie cerrada. Para calcular el flujo has de usar la definición
flujo=E. Ds, siendo
E--> Campo
Ds--> vevtor superficie diferencial, perpendicular a la superficie en cada punto
. --> Producto escalar
Si el campo atraviesa el paraboloide de lado a lado, el flujo es nulo, pues el flujo entrante es igual al saliente.
Si R<d, es similar al problema anterior, el conductor no atraviesa la esfera, con lo que no hay carga encerrada dentro de la esfera, y el flujo sería nulo
Si R<d, entonces el conductor atraviesa la esfera, y por trigonometría habría que calcular la longitud que está dentro de la esfera.
Si hacemos el dibujo, vemos que como de se mide siempre sobre la perpendicular entre O y el hilo, se forma un triángulo rectángulo de catetos l/2 y de, y de hipotenusa R.
Así pues, por Pitágoras
R^2=d^2+(l/2)^4
R^2-d^2=l^2/4
l^2=4*(R^2-d^2)
l=2*Raiz[R^2-d^2]
Así pues, la carga encerrada es
nu=Q/l-->Q=l*nu
el el flujo será
flujo=Q/Eo=l*nu/Eo
flujo=2*Raiz[R^2-d^2]*nu/Eo
Nuevamente repasa los cálculos
En cuanto al problema del paraboloide, no especificas la dirección del campo.
En cualquier caso aquí no puedes aplicar el teorema de Gauss, pues el paraboloide no es una superficie cerrada. Para calcular el flujo has de usar la definición
flujo=E. Ds, siendo
E--> Campo
Ds--> vevtor superficie diferencial, perpendicular a la superficie en cada punto
. --> Producto escalar
Si el campo atraviesa el paraboloide de lado a lado, el flujo es nulo, pues el flujo entrante es igual al saliente.
