Calculo Diferencial: Problema de optimización para emplear la mínima cantidad de material en la fabricación de un cilindro
Si un envase de volumen fijo tiene la forma de un cilindro circular recto determine la razón de altura al radio de la base si se emplea la mínima cantidad de material en su elaboración
1 Respuesta
Sea V el volumen fijo
La ecuación de ligadura del radio y la altura será
g(r,h) = Pi·r^2·h - V = 0
Y la función que determina el área es
A(r,h) = 2Pi·r^2 + 2Pi·r·h =2Pi(r^2 + rh)
Llamamos t al multiplicador de Lagrange debemos igualar a cero las derivadas parciales de
f(r,h) = A(r,h) + t·g(r,h) = 2Pi(r^2 + rh) + t(Pi·r^2·h - V)
fr(r,h) = 2Pi(2r+h) + 2·t·Pi·r·h = 0
fh(r,h) = 2Pi·r + t·Pi·r^2 = 0
De la derivada parcial respecto a r deducimos
t = - 2Pi(2r+h) / (2Pi·r·h) = - (2r+h) / (rh)
y de la parcial respecto a h deducimos
t = - 2Pi·r / Pi·r^2 = - 2/r
igualando ambos valores
- (2r+h) / (rh) = - 2 / r
2r^2 + rh = 2rh
2r^2 = rh
2r = h
Y lo que piden es la razón de la altura al radio, luego
h/r = 2
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no entendiste nada porque no has dado los multiplicadores de Lagrange dímelo y lo haré de otra forma. Y si ya está bien no olvides puntuar.
