Áreas, máximos y parábolas

Primero despejemos "y" en cada ecuación:
en la primera: y = 4 - (x^2)/3
en la segunda: y = (x^2)/6 - 2
Llamemos f(x) al primer "y" y g(x) al segundo "y", luego:
f(x)= 4 - (x^2)/3
g(x)= (x^2)/6 - 2
Si gráficas estas dos funciones te darás cuenta de que son dos parábolas una hacia arriba [g(x)] y otra hacia abajo [f(x)]; ambas con su mínimo y máximo en el eje de las "y" respectivamente.
Considerando el lado positivo del eje "x" te darás cuenta de que es posible construir un rectángulo tomando un ancho de valor "x" y que ese valor dará un largo que será lo que hay desde el eje por a f(x) más lo que hay desde el eje x hasta g(x), en ese punto.
Es decir: El ancho del rectángulo sera x
Y el largo será la suma de las distancias de ese x hacia ambas curvas.
Como g(x) es hacia arriba y f(x) es hacia abajo, luego el largo del rectángulo sera: f(x)-g(x).
El área, por lo tanto sera:
A(x)=x[g(x)-f(x)]
reemplzando los valores:
A(x)=x[4 - (x^2)/3-(x^2)/6 + 2]
A(x)=x[6-(x^2)/2]
Derivando:
A`(x)= x`[6 -(x^2)/2]+ x[6-(x^2)/2]`
A`(x)= 6 - (x^2)/2 + x [- x]
A`(x)= 6 - (x^2)/2 - x^2
A`(x)= 6 - 3(x^2)/2
Igualamos a cero:
0 = 6 - 3(x^2)/2
Se despeja x:
x=2
Si x=2, entonces:
f(2)= 8/3
g(2)= -4/3
POr lo tanto el area maxima es:
Amax = 2[8/3 - (-4/3)]
Amax = 2[8/3+4/3]
Amax = 2[4]
Amax = 8
POr lo tanto el área máxima del rectángulo de lados paralelos a los ejes, y que se forma entre las parábolas f(x) y g(x), es de 8 unidades cuadradas.

Está casi todo bien, el único error es que la base de todo el rectángulo en realidad es 2X, sino lo que estarías calculando es la área de, o bien la mitad izquierda del rectángulo, o bien la mitad del lado derecho del rectángulo (tomando como punto medio estarías eje Y).