Distancia entre rectas
Quisiera saber cuál es el algoritmo a seguir para encontrar la distancia entre dos rectas que no se corten (obvio) ni sean paralelas en R^3 (en el espacio).
Gracias desde ya..
PUES: NO es necesario que te explayes mucho, con una respuesta corta y precisa basta.
Gracias desde ya..
PUES: NO es necesario que te explayes mucho, con una respuesta corta y precisa basta.
1 Respuesta
Respuesta de eudemo
1
Mirando cosas viejas encontré que hace un tiempo me hicieron la misma pregunta En ese momento la respondí con más detalle.
Si bien tu pregunta está contestada no me cuesta nada enviarte esta otra respuesta
Pregunta de:Paloma3442
Geometría Analítica (25/08/05)
Hola, quisiera preguntarte como se calcula la distancia entre dos rectas en R3.
Respuesta de eudemo (30/08/05)
La distancia entre rectas alabeadas es la longitud del menor de los segmentos que van de una recta a la otra. Dicha longitud es mínima cuando el segmento es perpendicular a las dos rectas.
Sea la recta ra:
(x-Xa)/m1=(y-Ya)/m2=(z-Za)/m3
La recta ra que pasa por el punto (Xa;Ya;Za) y sus cosenos directores son:
m1/(m1^2+m2^2+m3^2)^(1/2)
m2/(m1^2+m2^2+m3^2)^(1/2)
m3/(m1^2+m2^2+m3^2)^(1/2)
Sea la recta rb::
(x-Xb)/n1=(y-Yb)/n2=(z-Zb)/n3
La recta rb que pasa por el punto (Xb;Yb;Zb) y sus cosenos directores son:
n1/(n1^2+n2^2+n3^2)^(1/2)
n2/(n1^2+n2^2+n3^2)^(1/2)
n3/(n1^2+n2^2+n3^2)^(1/2)
El vector (Para-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb) va de la recta ra hasta la recta rb.
Este vector no es necesariamente perpendicular a ra y a rb
Si lo fuera su módulo seria la distancia entre las rectas .
Obtendremos esa distancia proyectando el segmento sobre la perpendicular a ambas rectas.
La perpendicular común la obtenemos haciendo el producto vectorial: m^n, de los vectores directores de las rectas, donde:
Vector m = (m1;m2;m3)
Vector n =(n1;n2;n3)
Ahora para tener un versor lo dividimos el producto vectorial por su módulo:
Versor = m^n/|m^n|
Este versor lo multiplicamos escalarmente por el vector (Xa-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb)
(Xa-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb) * m^n/|m^n|
Y esa es la distancia entre las recta.
Eudemo
Si bien tu pregunta está contestada no me cuesta nada enviarte esta otra respuesta
Pregunta de:Paloma3442
Geometría Analítica (25/08/05)
Hola, quisiera preguntarte como se calcula la distancia entre dos rectas en R3.
Respuesta de eudemo (30/08/05)
La distancia entre rectas alabeadas es la longitud del menor de los segmentos que van de una recta a la otra. Dicha longitud es mínima cuando el segmento es perpendicular a las dos rectas.
Sea la recta ra:
(x-Xa)/m1=(y-Ya)/m2=(z-Za)/m3
La recta ra que pasa por el punto (Xa;Ya;Za) y sus cosenos directores son:
m1/(m1^2+m2^2+m3^2)^(1/2)
m2/(m1^2+m2^2+m3^2)^(1/2)
m3/(m1^2+m2^2+m3^2)^(1/2)
Sea la recta rb::
(x-Xb)/n1=(y-Yb)/n2=(z-Zb)/n3
La recta rb que pasa por el punto (Xb;Yb;Zb) y sus cosenos directores son:
n1/(n1^2+n2^2+n3^2)^(1/2)
n2/(n1^2+n2^2+n3^2)^(1/2)
n3/(n1^2+n2^2+n3^2)^(1/2)
El vector (Para-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb) va de la recta ra hasta la recta rb.
Este vector no es necesariamente perpendicular a ra y a rb
Si lo fuera su módulo seria la distancia entre las rectas .
Obtendremos esa distancia proyectando el segmento sobre la perpendicular a ambas rectas.
La perpendicular común la obtenemos haciendo el producto vectorial: m^n, de los vectores directores de las rectas, donde:
Vector m = (m1;m2;m3)
Vector n =(n1;n2;n3)
Ahora para tener un versor lo dividimos el producto vectorial por su módulo:
Versor = m^n/|m^n|
Este versor lo multiplicamos escalarmente por el vector (Xa-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb)
(Xa-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb) * m^n/|m^n|
Y esa es la distancia entre las recta.
Eudemo
En realidad todos estos temas de Geometría Analítica en R^3 se hacen mucho más simples usando vectores. Este es un buen ejemplo.
Se elige un punto cualquiera A en una de las rectas y lo unes con un punto cualquiera B de la otra recta, así se obtien un segmento AB, o mejor un vector AB. El modulo de AB es evidentemente mayor que la distancia entre las rectas peeeeeeeero si lo proyectamos sobre la dirección de la perpendicular común obtenemos la distancia entre las rectas. La dirección de esta perpendicular común se obtiene haciendo el producto vectorial de los vectores directores de las rectas dadas. Para obtener un versor se lo divide por su módulo. Finalmente se multiplica escalarmente este versor por AB y esa es la distancia pedida.
- - - - - - - -
En resumen,
Siendo V1 un vector en la dirección de la recta 1 (por ejemplo el vector formado por los cosenos directores de la recta 1)
Siendo V2 un vector en la dirección de la recta 2 (por ejemplo el vector formado por los cosenos directores de la recta 2
Hallamos el producto vectorial V1^V2
Al resultado de este producto vectorial lo dividimos por su módulo para obtener un versor U:
U=V1^V2/modulo de V1^V2
Elegimos un punto cualquiera
A=(xa;ya;za)
Que pertenezca a la recta 1
Elegimos un punto cualquiera
B=(xb;yb;zb)
Que pertenezca a la recta 2
Formamos el vector
AB=(xa-xb ; ya-yb ; za-zb)
El producto escalar AB*U es la distancia entre las rectas
Saludos cordiales,
eudemo
Se elige un punto cualquiera A en una de las rectas y lo unes con un punto cualquiera B de la otra recta, así se obtien un segmento AB, o mejor un vector AB. El modulo de AB es evidentemente mayor que la distancia entre las rectas peeeeeeeero si lo proyectamos sobre la dirección de la perpendicular común obtenemos la distancia entre las rectas. La dirección de esta perpendicular común se obtiene haciendo el producto vectorial de los vectores directores de las rectas dadas. Para obtener un versor se lo divide por su módulo. Finalmente se multiplica escalarmente este versor por AB y esa es la distancia pedida.
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En resumen,
Siendo V1 un vector en la dirección de la recta 1 (por ejemplo el vector formado por los cosenos directores de la recta 1)
Siendo V2 un vector en la dirección de la recta 2 (por ejemplo el vector formado por los cosenos directores de la recta 2
Hallamos el producto vectorial V1^V2
Al resultado de este producto vectorial lo dividimos por su módulo para obtener un versor U:
U=V1^V2/modulo de V1^V2
Elegimos un punto cualquiera
A=(xa;ya;za)
Que pertenezca a la recta 1
Elegimos un punto cualquiera
B=(xb;yb;zb)
Que pertenezca a la recta 2
Formamos el vector
AB=(xa-xb ; ya-yb ; za-zb)
El producto escalar AB*U es la distancia entre las rectas
Saludos cordiales,
eudemo
