Necesito que me ayudéis a resolver este ejercicio de máximos y mínimos
1-La iluminación producida por una fuente de luz es directamente proporcional a la intensidad luminosa de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la misma.
Dos fuentes de luz de intensidades S1 y S2 están separadas a una distancia de ¿en qué punto del segmento, que las une es mínima la iluminación?
2-Una carretera A que va de norte a sur y otra carretera B que va de este a oeste se cruzan en un punto P . A las 10 de la mañana un automóvil pasa por P viajando hacia el norte sobre A a 80 Kms por hora en ese mismo momento un avión que vuela hacia el este a 320Kms por hora y a una altura de 8500 metros pasa exactamente por arriba del punto de la carretera B que se encuentra a 160 Kms al oeste de P suponiendo que el automóvil y el avión mantienen la misma velocidad y dirección ¿a qué horas se encontraran cerca uno del otro?
Dos fuentes de luz de intensidades S1 y S2 están separadas a una distancia de ¿en qué punto del segmento, que las une es mínima la iluminación?
2-Una carretera A que va de norte a sur y otra carretera B que va de este a oeste se cruzan en un punto P . A las 10 de la mañana un automóvil pasa por P viajando hacia el norte sobre A a 80 Kms por hora en ese mismo momento un avión que vuela hacia el este a 320Kms por hora y a una altura de 8500 metros pasa exactamente por arriba del punto de la carretera B que se encuentra a 160 Kms al oeste de P suponiendo que el automóvil y el avión mantienen la misma velocidad y dirección ¿a qué horas se encontraran cerca uno del otro?
1 respuesta
Respuesta de gilillo
2
Para el problema de iluminación digamos que It es la iluminación total entre las dos fuentes de luz, entonces
It(x) = I1(x) + I2(x) , nota: "(x)" significa que es funcion de "x"
De acuerdo a lo que dices de la iluminación en función de la distancia y de la intensidad, tenemos que
I1(x) = S1/x^2
I2(x) = S2/(d-x)^2
Ahora:
It(x) = S1/x^2 + S2/(d-x)^2
El punto donde es mínima la iluminacion se cumple que: dIt/dx = 0
dIt/dx = dI1/dx + dI2/dx
dI1/dx = d(S1/x^2)/dx = -2S1/x^3
dI2/dx = d(S2/(d-x)^2)/dx = 2S2/(d-x)^3
dIt/dx = -2S1/x^3 + 2S2/(d-x)^3
Igualamos a cero para obtener el minimo "xmin":
-2S1/xmin^3 + 2S2/(d-xmin)^3 = 0
Reacomodamos:
S2*xmin^3 = S1*(d-xmin)^3 ó
(S2/S1)*xmin^3 = (d-xmin)^3
Sacamos raiz cubica en ambos lados, y hacemos K = Raiz cubica(S2/S1), nos queda:
K*xmin = d-xmin
(1+k)xmin = d
xmin = d/( 1+Raizcubica(S2/S1) )
Resumiendo, suponiendo que x=0 es la posición de S1, y que x=d es la posición de S2, el mínimo de iluminación será en:
xmin = d/( 1+Raizcubica(S2/S1) )
It(x) = I1(x) + I2(x) , nota: "(x)" significa que es funcion de "x"
De acuerdo a lo que dices de la iluminación en función de la distancia y de la intensidad, tenemos que
I1(x) = S1/x^2
I2(x) = S2/(d-x)^2
Ahora:
It(x) = S1/x^2 + S2/(d-x)^2
El punto donde es mínima la iluminacion se cumple que: dIt/dx = 0
dIt/dx = dI1/dx + dI2/dx
dI1/dx = d(S1/x^2)/dx = -2S1/x^3
dI2/dx = d(S2/(d-x)^2)/dx = 2S2/(d-x)^3
dIt/dx = -2S1/x^3 + 2S2/(d-x)^3
Igualamos a cero para obtener el minimo "xmin":
-2S1/xmin^3 + 2S2/(d-xmin)^3 = 0
Reacomodamos:
S2*xmin^3 = S1*(d-xmin)^3 ó
(S2/S1)*xmin^3 = (d-xmin)^3
Sacamos raiz cubica en ambos lados, y hacemos K = Raiz cubica(S2/S1), nos queda:
K*xmin = d-xmin
(1+k)xmin = d
xmin = d/( 1+Raizcubica(S2/S1) )
Resumiendo, suponiendo que x=0 es la posición de S1, y que x=d es la posición de S2, el mínimo de iluminación será en:
xmin = d/( 1+Raizcubica(S2/S1) )
En el caso del problema de la distancia.
Sea (Para, Ya, Za) las coordenadas de la posición del automóvil en función del tiempo, y sean (Xb, Yb, Zb) las coordenadas del avión en función del tiempo. Dichas coordenadas serán considerando el punto "P" como el origen y estarán en kilómetros. "t" Será el tiempo en horas, entonces tenemos:
Para = 0 (porque el auto no se mueve en "X")
Ya = 80*t
Za = 0 (sobre el nivel del piso)
Xb = -160+320*t
Yb = 0 (porque el avión no se mueve en "y")
Zb = 8.5 (altura del avión constante)
La distancia entre ellos la obtenemos con la versión para tres dimensiones del teorema de pitágoras:
D(t) = Raiz( (Xa - Xb)^2 + (Ya - Yb)^2 + (Za - Zb)^2 )
Sustituyendo y simplificando nos queda:
D(t) = Raiz( (160-320*t)^2 + (80*t)^2 + 8.5^2 ) = Raiz( 25600 - 102400*t + 102400*t^2 + 6400*t^2 + 72.25 )
D(t) = Raiz( 108,800*t^2 - 102,400*t + 25675.25 )
Ahora la distancia mínima entre ellos en cuando dD/dt = 0
Sea D(t) = Raiz(S) (o sea que S= 108,800*t^2 - 102,400*t + 25675.25)
dS/dt = 217,600*t - 102,400
Entonces
dD/dt = 1/Raiz(S) * dS/dt = 1/(2*Raiz(S)) * (217,600*t - 102,400)
En el mínimo tenemos:
1/(2*Raiz(Smin)) * (217,600*tmin - 102,400) = 0
Multiplicamos ambos lados por (2*Raiz(Smin)) y nos queda
217,600*tmin - 102400 = 0
Despejando
tmin = 102,400 / 217,600
tmin = 0.47058 hrs = 28 minutos mas 14.11 segs
Por lo tanto la hora a la que se encuentran más cerca uno del otro es a las 10:28 con 14.11 segs de la mañana
Sea (Para, Ya, Za) las coordenadas de la posición del automóvil en función del tiempo, y sean (Xb, Yb, Zb) las coordenadas del avión en función del tiempo. Dichas coordenadas serán considerando el punto "P" como el origen y estarán en kilómetros. "t" Será el tiempo en horas, entonces tenemos:
Para = 0 (porque el auto no se mueve en "X")
Ya = 80*t
Za = 0 (sobre el nivel del piso)
Xb = -160+320*t
Yb = 0 (porque el avión no se mueve en "y")
Zb = 8.5 (altura del avión constante)
La distancia entre ellos la obtenemos con la versión para tres dimensiones del teorema de pitágoras:
D(t) = Raiz( (Xa - Xb)^2 + (Ya - Yb)^2 + (Za - Zb)^2 )
Sustituyendo y simplificando nos queda:
D(t) = Raiz( (160-320*t)^2 + (80*t)^2 + 8.5^2 ) = Raiz( 25600 - 102400*t + 102400*t^2 + 6400*t^2 + 72.25 )
D(t) = Raiz( 108,800*t^2 - 102,400*t + 25675.25 )
Ahora la distancia mínima entre ellos en cuando dD/dt = 0
Sea D(t) = Raiz(S) (o sea que S= 108,800*t^2 - 102,400*t + 25675.25)
dS/dt = 217,600*t - 102,400
Entonces
dD/dt = 1/Raiz(S) * dS/dt = 1/(2*Raiz(S)) * (217,600*t - 102,400)
En el mínimo tenemos:
1/(2*Raiz(Smin)) * (217,600*tmin - 102,400) = 0
Multiplicamos ambos lados por (2*Raiz(Smin)) y nos queda
217,600*tmin - 102400 = 0
Despejando
tmin = 102,400 / 217,600
tmin = 0.47058 hrs = 28 minutos mas 14.11 segs
Por lo tanto la hora a la que se encuentran más cerca uno del otro es a las 10:28 con 14.11 segs de la mañana
porque Xb = -160+320*t - Diego Guachichullca