Factorizar los siguientes ejercicios

Mystika 74!

No hay cosa más pesada que calcular las raíces de una ecuación de grado 3 o 4. Y de 5 o más puede ser imposible. Se supone que los ejercicios los ponen para que se puedan hacer a mano. Y eso supone que que una al menos sea divisor del término independiente. El el primero el término independiente es -5, probaremos con 1,-1,5 y -5.

El teorema del resto dice que (x-a) divide al polinomio P(x) si P(a)=0.

Para calcular el resto podemos o evaluar el polinomio para esos valores o montar el tinglado de la división de Ruffini.

P(1) = 1 -8+16-5 = 4

P(-1) = -1-8-16-5 =-30

P(5) = 125-200+80-5 = 0

Si lo hubiéramos hecho con el método ya tendríamos también el polinomio que queda al dividir, vamos a calcularlo ahora:

        1   -8   16   -5
5            5  -15    5
-------------------------
        1   -3    1  | 0

La factorización momentánea queda:

x^3-8x^2+16x-5 = (x-5)(x^2 - 3x +1) =

Y en el segundo factor calculamos las raíces mediante la fórmula

x = [3 +-sqrt(9-4)]/2 = [3+-sqrt(5)]/2

Luego si queremos la factorización completa será:

= (x-5) · (x-[3+sqrt(5)]/2) · (x+[3+sqrt(5)])

El segundo ejercicio es:

x^3-6x^2+11x-6

En principio probaríamos con 1,2,3,6,-1,-2,-3,-6

P(1)=1-6+11-6 0 = 0

Montamos lo de Ruffini para ver qué cociente da

     1  -6   11  -6
1        1   -5  -6
-------------------- 
     1  -5    6 | 0

x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6)

Se ve que 2 y 3 hacen cero el segundo factor, luego son las dos raíces.

Y la descomposición completa es

=(x-1)(x-2)(x-3)

Y eso es todo.