¿Cuál es la ultima cifra de la siguiente relación?

La congruencia módulo 10 de un número es la última cifra. Debemos encontrar la congruencia módulo 10 de esa expresión

Por las propiedades de las congruencias podemos sustituir los sumandos por sumandos congruentes módulo 10 y los factores también. Luego nos podemos quedar con la última cifra de los sumandos y factores

2·5 + 3·8^7·(4 + 123^5) #

10 + 3 · 8^7 · (4 + 123^5) #

3 · 8^7 · (4 + 123^5) #

También hay otra propiedad

a # b (mod n)

a^m # b^m (mod n)

Luego nos podemos quedar con la última cifra de una base elevada a un exponente.

# 3 · 8^7 (4 + 3^5)#

Esto se hace como mejor sepa uno se te entretienes en argumentarlo es como si piensas como bajas las escaleras, que te caes.

Lo siguiente no son igualdades pero es la forma en que de calcula 3^5 (mod 10) mentalmente

3x3=9 x3 =27 -20=7*3 = 21 -20=1x3=3

Y para 8^7 se pueden simplificar los cálculos usando (-2)^7 que es congruente. Ya sabemos más o menos que 2^6 = 64 luego (-2)^7 = -128 + 130 = 2

Luego 8^7 # 2 (mod 10)

Entonces la congruencia es

# 3 · 2(4+3) # 3·2·7 # 42 # 2 (mod 10)

Luego la última cifra es 2

Se puede comprobar con la calculadora de Windows 7 o una que admita muchas cifras que el resultado es

177123750504825482

Luego está bien.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Ahora tengo que dejar el ordenador.