Demostración sobre factoriales

1) El numerador lo podemos poner como

(m+10)(m+9)(m+8)!

con lo cual el (m+8)! se simplifica con el denominador y quedará

(m+10)(m+9) = 42

Ahora podríamos efectuar los paréntesis y saldría una ecuación de segundo grado.

Pero puesto que había un factorial se supone que m+10 y m+9 son enteros. Entonces consiste en ver que dos números seguidos dan 42 al multiplicarlos, Enseguida vemos que son

7·6 = 42

Luego debe ser m+10=7 y m+9=6

m+10=7

m=7-10

m=-3

2)

(m+n)! = 56.(m+n-6)!
(m+3n) =16

La primera ecuación la podemos poner

(m+n)(m+n-1)(m+n-2)(m+n-3)(m+n-4)(m+n-5)(m+n-6)! = 56(m+n-6)!

que simplicando es

(m+n)(m+n-1)(m+n-2)(m+n-3)(m+n-4)(m+n-5) = 56

Debemos encontrar 5 números seguidos cuyo producto sea 56

Y eso es imposible, podría ser si fuera

(m+n)! = 56(m+n-2)!

Pero entonces no se cumpliría la segunda

REVISA el enunciado, tal como está es imposible.

3) Los factoriales están definidos para los números enteros {0, 1, 2, 3, ...}

Luego debe ser

m+2 >= 0

m >=-2

Luego m puede valer {-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Y eso es todo, si acaso mándame el 2º con el enunciado corregido si lo tiene.