¿La unión de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo?

No es verdadero, puede serlo y puede no serlo.

Piensa en dos círculos separados. Cada uno de ellos es un conjunto convexo, pero la unión no lo es porque si tomas un punto de un círculo y otro del otro círculo el segmento que une esos dos puntos pasa por puntos que no están en ninguno de ellos.

Mientras que si tomas uno dentro del otro la unión es convexa. Pero tomemos otro ejemplo mejor, sean dos cuadrados con un lado común. Por separado cada cuadrado es un conjunto convexo y la unión es un rectángulo que también es un conjunto convexo.

Luego la respuesta es falso y concretando más que a veces sí y a veces no.

Y eso es todo.