Sobre función exponencial

La ecuación diferencial que das es de variables separables:

$$\begin{align}&\frac{dx}{dt} = k(x+1)^2(n-x)\\ &\\ &\frac{dx}{k(x+1)^2(n-x)}=dt\\ &\\ &\\ &\frac 1k\int \frac{dx}{(x+1)^2(n-x)} = t+C\\ &\\ &\text {La integración no es precisamente inmediata}\\ &\text{Vamos a descomponerla en suma de tres inmediatas}\\ &\\ &\frac{dx}{(x+1)^2(n-x)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{n-x}=\\ &\\ &\frac{a(x+1)(n-x)+b(n-x)+c(x+1)^2}{(x+1)^2(n-x)}=\\ &\\ &\\ &\frac{axn-ax^2+an-ax+bn-bx+cx^2+2cx+c}{(x+1)^2(n-x)}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{(c-a)x^2+(an-a-b+2c)x +an+bn+c   }{{(x+1)^2(n-x)}}\\ &\text{Para que los numeradores sean iguales debe}\\ &\text{cumplirse este sistema de tres ecuaciones}\\ &c-a=0 \implies a=c\\ &an-a-b+2c =0 \implies a(1+n)=b\\ &an+bn+c=1 \implies an+an(n+1)+a=1 \implies\\ &\\ &a=\frac{1}{n^2+2n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}\\ &\\ &b=(1+n)a= \frac{1}{n+1}\\ &\\ &\\ &c=a=\frac{1}{(n+1)^2}\\ &\\ &\\ &\text {Y acelerando un poco tenemos}\\ &\\ &\frac 1k \left( \frac{ln|x+1|}{(n+1)^2}-\frac{1}{(n+1)(x-1)} -\frac{ln|n-x|}{(n+1)^2}\right)= t+C\\ &\end{align}$$

La ecuación diferencial ya está resuelta que es lo que cabe esperar que resuelva un matemático. Lo demás puede resolverlo siempre que el enunciado esté claro y no asuma que tiene conocimientos previos de epidemiología. Aparte no sé porque dice que se extiende a un ritmo proporcional al producto del número total infectado y al número no infectado y deduce que la ecuacion es:

k(x+1)^2(n-x)

Tendría que haber sido

kx(n-x)

o si me apuras

k(x+1)(n-x)

Pero para ser (x+1)^2 debería haber dicho:

Se extiende a un ritmo proporcional al producto del cuadrado del número total infectados mas uno po el número no infectados

En realidad en Google aparece muchas veces como k(x+1)(n-x) habría que veer cuál es el enunciado correcto.

Si me dices intento algo más, pero con un enunciado poco claro y que creo erróneo no sé hasta donde podré llegar.