Ayuda con cálculo de integral

Muy bien señorita.
Recuerde ud esta propiedad
LOG en base b de una funcion F(x) se puede expresar de la siguiente manera
LOG en base k de la funcion F(x)
_________________________   =  LOG en base b de una funcion F(x)
LOG en base k de b
Y bueno para nuestra conveniencia usaremos que = e (numero de euler) para poder tener una división de logaritmos naturales.
Ahora bien, su integral quedaría de la siguiente forma
INTEGRAL DE (4x.ln(1+xcuadrado))dx
                      -------------------------
                       (1+xcuadrado). Ln(10)
Estoy suponiendo que tu LOG, por convención es en base 10 por eso en el denominador aparece ln(10)
Ahora bien, ln(10) es una constante y podemos sacarla de la integral, y fíjate que la derivada de ln(1+xcuadrado) = 2x/1+xcuadrado (fíjate la definición de la derivada del logaritmo neperiano de una función de x)
Y esa expresión que es la derivada se parece mucho a lo que está multiplicándose en la integral con ln(1+xcuadrado)
Entonces le podemos dar la forma de la siguiente manera
    1 . INTEGRAL DE (2.2.x.ln(1+xcuadrado))dx
--------                            -------------------------
ln(10) (1+xcuadrado)
Bien entonces como puedes ver, si damos forma así
F(x) =ln(1+xcuadrado)
F '(x)= 2x/1+xcuadrado
Entonces tu integral está formada de la siguiente manera
    1 . INTEGRAL DE (2.F(x). F '(x))dx
--------                           
ln(10)                            
El 2 sale de la integral por ser constante.
Y la integral de una función F(X) a un exponente n que se multiplica por su derivada es igual a
F(x) elevado a la n+1 todo dividido entre n+1
en este caso n = 1
entonces el resultado al final será F(x) elevado a la 2 todo dividido entre 2
al final la integral (llemémosla I) es igual a
I = 2. F(x)^2 //recuerda que un 2 salió de la integral, y el 2 de abajo es el que divide
           -------- // Resultado de la integración, el ln(10) es el que salió hace rato 2. ln(10)
I= ln(1+xcuadrado) todo elevado al cuadrado y todo dividido entre ln(10)
el 2 de arriba con el de abajo se simplifican
NOTA = ^2 significa al cuadrado.
bueno esto es todo ;)