Endomorfismos

Hola, no sé si pilotas mucho en álgebra lineal, pero se me ha ocurrido una duda existencial y llevo todo el día dándole vueltas. También soy experto de matemáticas, pero no acierto a ver donde está el error de mi razonamiento
Dado un endomorfismo f de R en R, f=ax^4+b (no le he puesto más términos para no liarlo más) donde a y b son constantes positivas y arbitrarias, ¿f es inyectivo? ¿Depende de los valores de a y b?
Sé que cuando tratamos con endomorfismos, los conceptos de inyectivo, sobreyectivo y biyectivo son equivalentes, es decir, si es una de las 3 cosas, también es las otras 2.
Para b = 0 sí que es inyectivo (transforma el 0 del espacio de partida en el 0 del espacio de llegada) pero para b ! = 0 es sobreyectivo (la imagen del espacio de partida es el propio espacio) y no es inyectivo, porque f(0) = b
Por favor, dime si ves algún error en esto, porque no veas la paranoia que me estoy montando. No me corre mucha prisa, que ya tengo el álgebra aprobada, es sólo para dejar de rayarme de una vez.
Muchas gracias.