Ejercicio para hallar la curva

Aquí te dejo un procedimiento que te va a servir para casi cualquier función, lo explico con tu función:
Nuestra función es f(x) = -x^3 + 6x^2 + 3  {he puesto f(x) en lugar de y = ...}
Lo primero es calcular el dominio, es decir, el intervalo de valores que toma "x", de está forma veremos si existen asíntotas verticales en
nuestra función para ello calculamos la primera derivada:
f'(x) = -3x^2 + 12x
Igualamos a cero y despejamos la "x" y obtenemos unos valores que pueden ser: asíntotas verticales, máximos, mínimos, puntos de inflexión.
En nuestro caso obtenemos x = 0 y x = 4.
Para averiguar el dominio tenemos que calcular los limites por la izquierda y por la derecha de los valores anteriores, de esta forma
sabremos si la función es continua en dichos puntos o si posee una asíntota en ellos.
En este caso el dominio es todo R(conjunto de los números reales) ya que es un polinomio. Así que no es necesario calcularlos.
Ahora calculamos el rango de la función o la imagen, como prefieras, es el rango de valores que toma f(x), ojo que el dominio es rango de
valores de "x" y el rango de la función es el de "f(x)".
Para esto calculamos los limites de f(x) en más infinito y menos infinito y con ayuda de los limites anteriores que hubieras calculamos
obtendremos la imagen o el rango. en este caso
 lim(x->+inf)f(x) = -infinito
 lim(x->-inf)f(x) = +infinito
por lo tanto tenemos que rango es (-infinito,+infinito) = R el conjunto de los número reales.
entonces hasta ahora tenemos
· Dominio: Dom(f) = R
· Rango o Imagen: Im(f) = R
Ahora por la derivadas de antes sabemos que en los puntos x=0 y x=4 algo pasa con ellos, es decir, son máximos, mínimos puntos de
inflexión,...
Para saberlo evaluamos cada uno de ellos en la segunda derivada y si el valor de esta es <0 es un máximo y si es >0 es un mínimo en el caso
de que la derivada en dicho punto sea = 0, quiere decir que es un mínimo o máximo relativo y por lo tanto será máximo si la segunda derivada
es <0 y mínimop si la segunda derivas es >0. Vamos a verlo con el ejemplo
f'(x) = -3x^2 + 12x
f'(0) = 0
entonces como f'(0) es 0 calculamos la segunda derivada f''(x) = -6x + 12 y evaluamos x=0 en ella
f''(0) = 12 >0 por lo tanto como f'(0) = 0 y f''(0)>0 es un mínimo relativo.
Vamos con x=4
f'(4)= 0 como es igual a cero calculamos f''(4) = -12 como f''(4)<0 entonces en x=4 hay un máximo relativo.
Ya tenemos algo de forma en nuestra función sabemos que cuando x->-infinito la función se va a +infinito que cuando x->+infinito la función
se va a -infinito.
Ahora estudiamos la concavidad y convexidad, esto es con la segunda derivada
f''(x) = -6x + 12
que la igualamos a cero, -6x + 12 = 0, y obtenemos los valores de x, en este caso x = 2. entonces cogemos los siguientes intervalos con el
punto obtenido y el anterior, los intervalos para este caso son
(-Infinito, 0); (0,2);(2,4); (4,+infinito) y cogemos un punto que esté dentro de cada intervalo y lo evaluamos en la segunda derivas, si el
valor resultante es <0 es convexa en ese intervalo y si el valor es >0 es cóncava.
Vamos a verlo:
Del intervalo (-infinito, 0) cogemos -1 por ejemplo y por tanto f''(-1)=18 >0 por lo tanto en (-infinito, 0) es cóncava.
(0,2) cogemos 1 por ejemplo y por tanto f''(1)=6 >0 por lo tanto en (0,2) es cóncava.
(2,4) cogemos 3 por ejemplo y por tanto f''(3)=-6 <0 por lo tanto en (2,4) es convexa
(4,+infinito) cogemos 5 por ejemplo y por tanto f''(5)=-18 <0 por lo tanto en (4,+infinito) es convexa.
Entonces resumiendo tenemos que en el intervalo
(-Infinito, 2) es cóncava y en el intervalo (2,+infinito) es convexa.
Ahora ya tenemos una idea más clara de la función sabiendo donde es cóncava y donde es convexa.
Ahora vamos a ver si los puntos obtenidos en f''(x)=0 es decir, al igualar la segunda derivada a cero si son puntos de inflexión, serán puntos de inflexión si al evaluar dicho valor en la tercera derivada es distinto de cero y su valor en la segunda derivada son igual a cero.
Veámoslo:
x=2 f''(2)=0 y f'''(x)=-6 entonces f'''(2)=-6 por lo que es distinto de 0 y por lo tanto en x=2 hay un punto de inflexión.
Pues eso es todo uniendo toda la información que hemos analizado obtendremos una idea aproximada de la gráfica de la función f(x). De todas formas si tienes alguna duda me lo dices y te la resuelvo.