Ayudita con Desigualdades de matemáticas
Hola mikner, me podrías ayudar por favor con estos 3 ejercicios que ya intente hacer de todas formas pero no me sale, y si me sale no estoy seguro de mis resultados.
Poor favor
(1)- |5-x^(-1)| < 1
(2)- |x-5| < |x+1|
(3)- x < x² - 12 <4x
Poor favor
(1)- |5-x^(-1)| < 1
(2)- |x-5| < |x+1|
(3)- x < x² - 12 <4x
Respuesta de Dani BP
1
En el primer caso:
Siempre que tenemos algo en valor absoluto, es decir entre | |, y < a algo hacemos lo siguiente:
-1 < 5- 1/x < 1 (he puesto x^-1 como 1/x porque así será más fácil luego)
----------------------
Para ver este paso claramente pensemos un ejemplo más sencillo:
¿Qué significa |x|<1? Pues significa que son todos los valores de por que una vez hecho valor absoluto, éste es menor que 1. Entre estos valores encontramos, obviamente todos aquéllos entre 0 y 1, pero también aquéllos entre -1 y 0 ya que pasan a ser positivos. Por lo tanto |x|<1 quiere decir -1<x<1.
-----------------------
Seguidamente tratamos cada desigualdad por separado usando las reglas para desigualdades.
-1<5-1/x
-1-5<-1/x
-6<-1/x
6>1/x
Dado que por está dividiendo y querríamos pasarla al otro lado multiplicamos tenemos que diferenciar 2 casos:
Si por es positiva entonces no alteraremos el sentido de la desigualdad:
6x>1
x>1/6
Si por es negativa tenemos que girar la desigualdad
6x<1
x<1/6
Ahora, realizando los mismos pasos para la otra desigualdad 5-1/x<1 obtenemos
Si por es positiva entonces
1/4>x
Si x es negativa entonces
1/4<x
Ahora juntamos los resultados:
Si por es positiva hemos obtenido
1/6 < x < 1/4
Si por es negativa hemos obtenido
1/4 < x < 1/6 la cual cosa no tiene sentido ya que 1/6 es más pequeño que 1/4
Por lo tanto la solución a la desigualdad es 1/6<x<1/4.
Caso 2)
Ahora volvemos a utilizar lo mismo que en el ejercicio 1:
-|x+1| < x - 5 < |x+1|
Y volvemos a analizar cada desigualdad por separado:
--Desigualdad -|x+1| < x - 5
|x+1| > -x + 5
---------------------------------------------------------
Cuando tenemos | | > algo pasa algo similar al caso | | < algo. Pensemos de nuevo en un ejemplo sencillo:
¿Que quiere decir |x|>1? Son todas las x que cuando le hacemos valor absoluto queda más grande que 1. Es decir, las x más grandes que 1 ya que son positivas y quedan igual, pero también las x negativas menores que -1 ya que al hacer valor absoluto se les cambia el signo y quedan mayores que 1. Por lo tanto |x|>1 quiere decir x>1 o x<-1
-----------------------------------------------------------
x+1 > -x+5 o x+1 < x-5
La segunda es falsa ya que queda 1 < -5 por lo tanto la desechamos
la primera es la que nos dirá algo:
2x > 4
x > 2
--Desigualdad x - 5 < |x+1|
-x-1 < x-5 < x+1
Por un lado
-x-1 < x+5
-6<2x
-3<x
Por el otro lado
x-5<x+1
No nos dice nada ya que queda como -5 < 1 cosa que es cierta siempre.
Así que la solución global del ejercicio es x>2 ya que también se cumplirá que x>-3
Caso 3)
Se trata de mirar, nuevamente, por separado cada desigualdad
--Desigualdad x < x^2 - 12
Pasamos todo a un lado y resolvemos cambiando la desigualdad por igualdad:
0 = x^2 - x - 12
tiene por soluciones x = 4 y x = -3
La solución entonces será:
O bien el intervalo (-inf, -3)U(4,+inf)
O bien el intervalo (-3,4)
Para saber cuál solamente hace falta sustituir un valor que esté en uno de los intervalos en la desigualdad: cojamos 0 que pertenece al intervalo (-3,4) y sustituimos
0 < 0^2 -12 cosa que no es cierta por lo tanto la solución a esta desigualdad es
(-inf, -3)U(4,+inf)
--Desigualdad x^2-12<4x
Procedemos de la misma manera
x^2 - 4x - 12 = 0
que tiene por solución x=6 y x=-2
La solución entonces será:
O bien el intervalo (-inf, -2)U(6,+inf)
O bien el intervalo (-2,6)
Probamos el 0 que pertenece a (-2,6)
0^2 - 12 < 4·0
-12 < 0 que es cierto.
Así que la solución de esta desigualdad es
(-2,6)
Finalmente, la solución global será la intersección de las dos soluciones de cada desigualdad:
Es decir la intersección de
(-inf, -3)U(4,+inf) con (-2,6)
que es (4,6)
Así que la solución es 4<x<6
Siempre que tenemos algo en valor absoluto, es decir entre | |, y < a algo hacemos lo siguiente:
-1 < 5- 1/x < 1 (he puesto x^-1 como 1/x porque así será más fácil luego)
----------------------
Para ver este paso claramente pensemos un ejemplo más sencillo:
¿Qué significa |x|<1? Pues significa que son todos los valores de por que una vez hecho valor absoluto, éste es menor que 1. Entre estos valores encontramos, obviamente todos aquéllos entre 0 y 1, pero también aquéllos entre -1 y 0 ya que pasan a ser positivos. Por lo tanto |x|<1 quiere decir -1<x<1.
-----------------------
Seguidamente tratamos cada desigualdad por separado usando las reglas para desigualdades.
-1<5-1/x
-1-5<-1/x
-6<-1/x
6>1/x
Dado que por está dividiendo y querríamos pasarla al otro lado multiplicamos tenemos que diferenciar 2 casos:
Si por es positiva entonces no alteraremos el sentido de la desigualdad:
6x>1
x>1/6
Si por es negativa tenemos que girar la desigualdad
6x<1
x<1/6
Ahora, realizando los mismos pasos para la otra desigualdad 5-1/x<1 obtenemos
Si por es positiva entonces
1/4>x
Si x es negativa entonces
1/4<x
Ahora juntamos los resultados:
Si por es positiva hemos obtenido
1/6 < x < 1/4
Si por es negativa hemos obtenido
1/4 < x < 1/6 la cual cosa no tiene sentido ya que 1/6 es más pequeño que 1/4
Por lo tanto la solución a la desigualdad es 1/6<x<1/4.
Caso 2)
Ahora volvemos a utilizar lo mismo que en el ejercicio 1:
-|x+1| < x - 5 < |x+1|
Y volvemos a analizar cada desigualdad por separado:
--Desigualdad -|x+1| < x - 5
|x+1| > -x + 5
---------------------------------------------------------
Cuando tenemos | | > algo pasa algo similar al caso | | < algo. Pensemos de nuevo en un ejemplo sencillo:
¿Que quiere decir |x|>1? Son todas las x que cuando le hacemos valor absoluto queda más grande que 1. Es decir, las x más grandes que 1 ya que son positivas y quedan igual, pero también las x negativas menores que -1 ya que al hacer valor absoluto se les cambia el signo y quedan mayores que 1. Por lo tanto |x|>1 quiere decir x>1 o x<-1
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x+1 > -x+5 o x+1 < x-5
La segunda es falsa ya que queda 1 < -5 por lo tanto la desechamos
la primera es la que nos dirá algo:
2x > 4
x > 2
--Desigualdad x - 5 < |x+1|
-x-1 < x-5 < x+1
Por un lado
-x-1 < x+5
-6<2x
-3<x
Por el otro lado
x-5<x+1
No nos dice nada ya que queda como -5 < 1 cosa que es cierta siempre.
Así que la solución global del ejercicio es x>2 ya que también se cumplirá que x>-3
Caso 3)
Se trata de mirar, nuevamente, por separado cada desigualdad
--Desigualdad x < x^2 - 12
Pasamos todo a un lado y resolvemos cambiando la desigualdad por igualdad:
0 = x^2 - x - 12
tiene por soluciones x = 4 y x = -3
La solución entonces será:
O bien el intervalo (-inf, -3)U(4,+inf)
O bien el intervalo (-3,4)
Para saber cuál solamente hace falta sustituir un valor que esté en uno de los intervalos en la desigualdad: cojamos 0 que pertenece al intervalo (-3,4) y sustituimos
0 < 0^2 -12 cosa que no es cierta por lo tanto la solución a esta desigualdad es
(-inf, -3)U(4,+inf)
--Desigualdad x^2-12<4x
Procedemos de la misma manera
x^2 - 4x - 12 = 0
que tiene por solución x=6 y x=-2
La solución entonces será:
O bien el intervalo (-inf, -2)U(6,+inf)
O bien el intervalo (-2,6)
Probamos el 0 que pertenece a (-2,6)
0^2 - 12 < 4·0
-12 < 0 que es cierto.
Así que la solución de esta desigualdad es
(-2,6)
Finalmente, la solución global será la intersección de las dos soluciones de cada desigualdad:
Es decir la intersección de
(-inf, -3)U(4,+inf) con (-2,6)
que es (4,6)
Así que la solución es 4<x<6
