Integración por partes

Bueno la integración por partes viene explicada aquí
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n
tu función es f(x) = e^{nx}.sen(nx)
tenemos que definir dos variables nuevas
u y dv, donde dv es la derivada de v
vamos a coger u = e^(nx) y dv = sen(nx)
ahora hacemos lo siguiente
u = e^(nx)  entonces du = (1/n)·e^(nx)
dv= sen(nx) entonces v = -(1/n)cos(nx)
Ahora recomponemos la integral como
u·V - integral(v·du)
e^(Nx)(-1/n)cos(nx) - integral de (-1/n^2)e^(nx)cos(nx)
A esa integral le volvemos a aplicar partes
Y nos queda
e^(nx)(-1/n)cos(nx) - (-1/n^2)[e^(nx)(1/n)sen(nx) - (1/n^3)integral e^(nx)sen(nx)] (*)
haciendo operaciones tenemos
(-1/n)e^(nx)cos(nx) + (1/n^3)e^(nx)sen(nx) - (1/n^3)int(e^(nx)sen(nx)
Si observas hemos obtenido de nuevo la integral del principio
vamos a llamar a esa integral A, entonces A = integral e^(nx)sen(nx)
así que tenemos que la expresión de arriba (*)
es igual a
A = (-1/n)e^(nx)cos(nx) + (1/n^3)e^(nx)sen(nx) - (1/n^3)A
así que operamos y tenemos que
((n^3 + 1)/n^3) A = (-1/n)e^(nx)cos(nx) + (1/n^3)e^(nx)sen(nx)
entonces A = (n^3/ (n^3 + 1))[(-1/n)e^(nx)cos(nx) + (1/n^3)e^(nx)sen(nx)]
Entonces como A es igual a integral e^(nx)sen(nx)
Tenemos que
integral e^(nx)sen(nx) = (n^3/ (n^3 + 1))[(-1/n)e^(nx)cos(nx) + (1/n^3)e^(nx)sen(nx)]
Y ya tenemos la solución. Este tipo de integrales que tienen una "n" se suelen resolver de esta forma, es decir, aplicar partes una y otra vez hasta que obtienes la misma integral que la del principio y entonces cuando la tienes lo único que tienes que hacer es resolverla como una ecuación donde tu incógnita es "A".