Ejercicio

Llamamos por al número de objetos que compró e y al precio de cada uno de esos objetos. El importe de la compra se calcula multiplicando el número de objetos por el precio, con lo cual:
xy=450
Con el mismo dinero (450) podría haber comprado 5 objetos más (x+5) si cada uno hubiese costado 3 euros menos (y-3), luego:
(x+5)(y-3)=450
Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
xy=450
(x+5)(y-3)=450
Es un sistema no lineal (puesto que la x y la y aparecen multiplicándose) y no hay ningún método específico para resolver estos sistemas, sino que intentamos "buscarnos la vida" con los métodos que tenemos para los sistemas lineales (sustitución, igualación, reducción). Por ejemplo, intentamos resolverlo por sustitución.
Aislamos y de la primera ecuación: y=450/x
Sustituimos en la segunda: (x+5)(450/x-3)=450
Es una ecuación con una incógnita y la resolvemos. Multiplicamos para quitar paréntesis (todos por todos):
450-3x+2250/x-15=450
Multiplicamos toda la ecuación por x para quitar la x del denominador (para poder hacer esto estamos suponiendo que la x no es cero, pero como es el número de objetos comprados no puede serlo):
450x-3x^2+2250-15x=450x
Me doy cuenta que sale una ecuación de 2º grado, así que pasamos todo al primer miembro, operamos y dejamos ordenado:
-3x^2-15x+2250=0
Resolvemos con la fórmula:
x=(-(-15)+-raiz((-15)^2-4*(-3)*2250))/(2*(-3))=(15+-raiz(225+27000))/(-6)=(15+-raiz(27225))/(-6)=(15+-165)/(-6)
Sacamos dos soluciones:
x=(15+165)/(-6)=180/(-6)=-30
x=(15-165)/(-6)=(-150)/(-6)=25
Como x representa el número de objetos comprados no puede ser negativa, con lo que la 1ª solución, que matemáticamente es correcta, no vale para nuestro problema. Por tanto la persona compró 25 objetos.
Para calcular cuánto costó cada objeto sustituimos en la expresión y=450/x
y=450/25=18
Luego cada objeto costó 18 euros.