¿Problema de programación lineal método gráfico...?
Me podrían ayudar a plantear estos 2 problemas la verdad yo no se como!
1)Para fertilizar el suelo de una finca se requiere, por metro cuadrado, usar un tipo de fertilizante que tenga como mínimo 60g de la sustancia A, 40g de la sustancia B y 35g de la sustancia C. En una tienda se venden dos marcas POR y Y. La unidad de la marca POR contiene 5g de A, 3g de B y 5g de C y cuesta U$3 cada unidad. La unidad de la marca Y contiene 2g de A, 2g de B y 1g de C y cuesta U$1.40 la unidad. ¿Cuántas unidades se deben adquirir por metro cuadrado de cada marca para minimizar los costos? ¿Cuáles serán los costos mínimos por metro cuadrado?
b)Una persona desea invertir U$15,000 en dos clases de certificados de depósito A y B que producen respectivamente 7% y 8% anual. Desea invertir en B a lo sumo el triple de lo invertido en A. Determine el producto anual máximo si no puede invertir más de U$9,000 en B y más de U$7,500 en A.
Espero que me puedas ayudar ya que sólo me faltan esos dos ejercicios...
1)Para fertilizar el suelo de una finca se requiere, por metro cuadrado, usar un tipo de fertilizante que tenga como mínimo 60g de la sustancia A, 40g de la sustancia B y 35g de la sustancia C. En una tienda se venden dos marcas POR y Y. La unidad de la marca POR contiene 5g de A, 3g de B y 5g de C y cuesta U$3 cada unidad. La unidad de la marca Y contiene 2g de A, 2g de B y 1g de C y cuesta U$1.40 la unidad. ¿Cuántas unidades se deben adquirir por metro cuadrado de cada marca para minimizar los costos? ¿Cuáles serán los costos mínimos por metro cuadrado?
b)Una persona desea invertir U$15,000 en dos clases de certificados de depósito A y B que producen respectivamente 7% y 8% anual. Desea invertir en B a lo sumo el triple de lo invertido en A. Determine el producto anual máximo si no puede invertir más de U$9,000 en B y más de U$7,500 en A.
Espero que me puedas ayudar ya que sólo me faltan esos dos ejercicios...
2 respuestas
Respuesta de canalrev
1
a)
1-Elección de las incógnitas.
x = Cantidad de marca X
y = Cantidad de marca Y
2-Función objetivo
f(x,y)= 3x + 1.40y
3-Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
marca x marca y cantidad necesaria
sustancia A 5 2 60
sustancia B 3 2 40
sustancia C 5 1 35
5x+2y?60
3x+2y?40
5x+y?35
Como la cantidad de X y de Y son números naturales, tendremos dos restricciones más:
¿x? ¿0
y? 0
4- Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x? 0 e y? 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas
No puedo incluirte la imagen
Pero la tercera recta no corta con las otras dos en el primer cuadrante y las dos primeras de cortan en el punto (10,5) que es el vértice donde el valor de la función f(x, y) es menor
Luego comparemos 10 unidades de X u 5 unidades de Y por meto cuadrado
y el coste mínimo es
f(x,y)= 3x + 1.40y ---> f(10,5)=30+7=37$ por metro cuadrado.
b)
1-Elección de las incógnitas.
x = Inversión en A
y = Inversión en B
2-Función objetivo
f(x,y)=0,07x + 0,08y
3-Restricciones
x+y<15000
3x>y
x<7500
y<9000
Como la cantidad de X y de Y son números naturales, tendremos dos restricciones más:
¿x? ¿0
y? 0
4- Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x? 0 e y? 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas
No puedo incluirte la imagen
El recinto que queda tiene los vértices (0,0) (3000,9000) (6000, 9000) (7500,7500) y (7500,0)
El producto máximo en los vértices se da en (6000, 9000)
f(x,y)=0,07x + 0,08y ---> f(6000,9000)=420+720=1140$
Se que es un problema lo de no poder incluir gráficos, pero espero que te serba de ayuda.
1-Elección de las incógnitas.
x = Cantidad de marca X
y = Cantidad de marca Y
2-Función objetivo
f(x,y)= 3x + 1.40y
3-Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
marca x marca y cantidad necesaria
sustancia A 5 2 60
sustancia B 3 2 40
sustancia C 5 1 35
5x+2y?60
3x+2y?40
5x+y?35
Como la cantidad de X y de Y son números naturales, tendremos dos restricciones más:
¿x? ¿0
y? 0
4- Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x? 0 e y? 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas
No puedo incluirte la imagen
Pero la tercera recta no corta con las otras dos en el primer cuadrante y las dos primeras de cortan en el punto (10,5) que es el vértice donde el valor de la función f(x, y) es menor
Luego comparemos 10 unidades de X u 5 unidades de Y por meto cuadrado
y el coste mínimo es
f(x,y)= 3x + 1.40y ---> f(10,5)=30+7=37$ por metro cuadrado.
b)
1-Elección de las incógnitas.
x = Inversión en A
y = Inversión en B
2-Función objetivo
f(x,y)=0,07x + 0,08y
3-Restricciones
x+y<15000
3x>y
x<7500
y<9000
Como la cantidad de X y de Y son números naturales, tendremos dos restricciones más:
¿x? ¿0
y? 0
4- Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x? 0 e y? 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas
No puedo incluirte la imagen
El recinto que queda tiene los vértices (0,0) (3000,9000) (6000, 9000) (7500,7500) y (7500,0)
El producto máximo en los vértices se da en (6000, 9000)
f(x,y)=0,07x + 0,08y ---> f(6000,9000)=420+720=1140$
Se que es un problema lo de no poder incluir gráficos, pero espero que te serba de ayuda.
Excelente tu respuesta, gracias por aclararme mi duda. En cuanto a las imagines en realidad solo pedía el planteamiento pero gracias por desarrollar las respuesta.
Si te interesa hay un programa que ocupa muy poco espacio de tu pc llamado Prolin con el que puede hacer fácilmente los gráficos de cualquier problema de programación lineal.
Gracias!
Si te interesa hay un programa que ocupa muy poco espacio de tu pc llamado Prolin con el que puede hacer fácilmente los gráficos de cualquier problema de programación lineal.
Gracias!
Respuesta
1
Intentaré resolverte este problema. ¿Conoces lo que es el solver? Es una aplicación que está en el excel, para esto te vendría muy bien.
1.- Creo que te falta el dato del área de la finca. No obstante usaré la base de cálculo para 1m2, así sólo bastaría con multiplicar por los metros cuadrados que tenga.
Lo que necesitas es optimizar la Función Objetivo, que será minimizar los costos (el precio total):
minimizar -> F.O: X·3 + Y·1.40
Ahora ponemos las restricciones que deben cumplir (cada uno de los componentes):
Para el componente A --> x·5 + y·2=>60
Para el componente B --> x·3 + y·2=>40
Para el componente C --> x·5 + y·1=>35
Pues ahora bastaría con dibujar la función objetivo dándole dos valores a cada una de las variables, pues es una línea recta. Que cortará a los dos ejes.
Haz lo mismo con las restricciones. Dibuja como si fuera una ecuación con un igual. Piensa que para ver el área válida de las restricciones dale un valor a (x, y), si sale mayor al valor que tiene, pues es válido, porque te dicen que sea "como mínimo", si sale mayor es válida ese área. Si fuera menor será la parte de la linea que no vale.
Ejemplo: x·5 + y·1 =>35 Si me imagino un punto que quiero evaluar, por ejemplo el (20, 10), pues lo evalúo en la ecuación de la siguiente forma: 20·5 + 10·1 = 110. Con lo cual cumple que sea mayor que 35, con lo cual, el área de ese lado de la linea x·5 + y·1 =>35 cumple la norma, con lo cual el otro lado se tacha porque no lo cumple.
Así te saldrá un área válida con forma de triángulo (imagino porque no lo he hecho, pero son siempre igual). Ahora, como te piden el coste mínimo, el menor valor de la FO, pues el resultado gráfico será el punto más bajo de la linea de FO que esté dentro del área válida que acabamos de hallar, con lo cual será el corte de esta línea con uno de los lados del triángulo. Ese valor numérico de (x, y) será la cantidad de marca X y marca Y que se debe comprar para minimizar gastos.
Para obtener los costes mínimos basta con multiplicar la cantidad de producto por su precio y sumar ambos costes.
2.- Este ejercicio se haría de la misma manera que el anterior:
maximizar -> F.O: 15000(A·0.07 + B·0.08)
Restricciones:
B=<3A
B=<9000
A=<7500
Se dibujan las tres lineas eliminando las áreas no válidas como se hizo en el anterior. Se dibuja la linea de FO y donde corte al figura válida (ahora no sé si saldrá un triángulo) pero ahora en la parte de arriba porque es maximizar la función. Ese será el punto de X para cantidad de A y Y para cantidad de B.
Espero que te haya servido la ayuda! Si tienes más dudas consúltamelas.
1.- Creo que te falta el dato del área de la finca. No obstante usaré la base de cálculo para 1m2, así sólo bastaría con multiplicar por los metros cuadrados que tenga.
Lo que necesitas es optimizar la Función Objetivo, que será minimizar los costos (el precio total):
minimizar -> F.O: X·3 + Y·1.40
Ahora ponemos las restricciones que deben cumplir (cada uno de los componentes):
Para el componente A --> x·5 + y·2=>60
Para el componente B --> x·3 + y·2=>40
Para el componente C --> x·5 + y·1=>35
Pues ahora bastaría con dibujar la función objetivo dándole dos valores a cada una de las variables, pues es una línea recta. Que cortará a los dos ejes.
Haz lo mismo con las restricciones. Dibuja como si fuera una ecuación con un igual. Piensa que para ver el área válida de las restricciones dale un valor a (x, y), si sale mayor al valor que tiene, pues es válido, porque te dicen que sea "como mínimo", si sale mayor es válida ese área. Si fuera menor será la parte de la linea que no vale.
Ejemplo: x·5 + y·1 =>35 Si me imagino un punto que quiero evaluar, por ejemplo el (20, 10), pues lo evalúo en la ecuación de la siguiente forma: 20·5 + 10·1 = 110. Con lo cual cumple que sea mayor que 35, con lo cual, el área de ese lado de la linea x·5 + y·1 =>35 cumple la norma, con lo cual el otro lado se tacha porque no lo cumple.
Así te saldrá un área válida con forma de triángulo (imagino porque no lo he hecho, pero son siempre igual). Ahora, como te piden el coste mínimo, el menor valor de la FO, pues el resultado gráfico será el punto más bajo de la linea de FO que esté dentro del área válida que acabamos de hallar, con lo cual será el corte de esta línea con uno de los lados del triángulo. Ese valor numérico de (x, y) será la cantidad de marca X y marca Y que se debe comprar para minimizar gastos.
Para obtener los costes mínimos basta con multiplicar la cantidad de producto por su precio y sumar ambos costes.
2.- Este ejercicio se haría de la misma manera que el anterior:
maximizar -> F.O: 15000(A·0.07 + B·0.08)
Restricciones:
B=<3A
B=<9000
A=<7500
Se dibujan las tres lineas eliminando las áreas no válidas como se hizo en el anterior. Se dibuja la linea de FO y donde corte al figura válida (ahora no sé si saldrá un triángulo) pero ahora en la parte de arriba porque es maximizar la función. Ese será el punto de X para cantidad de A y Y para cantidad de B.
Espero que te haya servido la ayuda! Si tienes más dudas consúltamelas.