Anónimo
¿Problemas de ecuaciones de la recta?
Tengo varios problemas que no me salen (dispongo de los resultados finales) y no sé cómo proceder para hacerlos.
1. Halla las coordenadas del punto P, perteneciente a la recta x+y-3=0 que forma con los puntos A (3,5) B (4,0) un triángulo rectángulo en P.
2. Una recta ''s'' pasa por el punto A (1,6) e incide sobre la recta r: x-y-3=0 y se refleja pasando por el punto B (3,8). Halla el punto I de incidencia de ''s'' con ''r''.
Agradecería una explicación... Muchas gracias.
1. Halla las coordenadas del punto P, perteneciente a la recta x+y-3=0 que forma con los puntos A (3,5) B (4,0) un triángulo rectángulo en P.
2. Una recta ''s'' pasa por el punto A (1,6) e incide sobre la recta r: x-y-3=0 y se refleja pasando por el punto B (3,8). Halla el punto I de incidencia de ''s'' con ''r''.
Agradecería una explicación... Muchas gracias.
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Respuesta de canalrev
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1. Halla las coordenadas del punto P, perteneciente a la recta x+y-3=0 que forma con los puntos A (3,5) B (4,0) un triángulo rectángulo en P.
p=(x,-x-3)
Podemos tener el ángulo recto en A, B o P
Si está en A, AP debe ser perpemdicular a AB
El vector director de AP es (x-3,-x-8), El vector director de AB es (1,-5)
Para que sean perpendiculares su producto escalar debe ser 0
(x-3,-x-8)·(1,-5)=0 --> x-3+5x+40=0 --> 6x=-37 --> x=-37/6 --> P(-37/6,19/6)
Si está en B, BP debe ser perpemdicular a AB
El vector director de AP es (x-4,-x-3), El vector director de AB es (1,-5)
Para que sean perpendiculares su producto escalar debe ser 0
(x-4,-x-3)·(1,-5)=0 --> x-4+5x+15=0 --> 6x=-11 --> x=-11/6 --> P(-11/6,-7/6)
Si está en P, AP debe ser perpemdicular a BP
El vector director de AP es (x-3,-x-8), El vector director de BP es (x-4,-x-3)
Para que sean perpendiculares su producto escalar debe ser 0
(x-3,-x-8)·(x-4,-x-3)=0 --> x^2-7x+12+x^2+11x+24=0 --> 2x^2-4x+36=0 -->
No tiene solución, por lo que el ángulo recto no puede estar en P.
2. Una recta ''s'' pasa por el punto A (1,6) e incide sobre la recta r: x-y-3=0 y se refleja pasando por el punto B (3,8). Halla el punto I de incidencia de ''s'' con ''r''.
No me da solución, luego si tengo tiempo lo repaso y si la encuentro te lo mando.
p=(x,-x-3)
Podemos tener el ángulo recto en A, B o P
Si está en A, AP debe ser perpemdicular a AB
El vector director de AP es (x-3,-x-8), El vector director de AB es (1,-5)
Para que sean perpendiculares su producto escalar debe ser 0
(x-3,-x-8)·(1,-5)=0 --> x-3+5x+40=0 --> 6x=-37 --> x=-37/6 --> P(-37/6,19/6)
Si está en B, BP debe ser perpemdicular a AB
El vector director de AP es (x-4,-x-3), El vector director de AB es (1,-5)
Para que sean perpendiculares su producto escalar debe ser 0
(x-4,-x-3)·(1,-5)=0 --> x-4+5x+15=0 --> 6x=-11 --> x=-11/6 --> P(-11/6,-7/6)
Si está en P, AP debe ser perpemdicular a BP
El vector director de AP es (x-3,-x-8), El vector director de BP es (x-4,-x-3)
Para que sean perpendiculares su producto escalar debe ser 0
(x-3,-x-8)·(x-4,-x-3)=0 --> x^2-7x+12+x^2+11x+24=0 --> 2x^2-4x+36=0 -->
No tiene solución, por lo que el ángulo recto no puede estar en P.
2. Una recta ''s'' pasa por el punto A (1,6) e incide sobre la recta r: x-y-3=0 y se refleja pasando por el punto B (3,8). Halla el punto I de incidencia de ''s'' con ''r''.
No me da solución, luego si tengo tiempo lo repaso y si la encuentro te lo mando.
2. Una recta ''s'' pasa por el punto A (1,6) e incide sobre la recta r: x-y-3=0 y se refleja pasando por el punto B (3,8). Halla el punto I de incidencia de ''s'' con ''r''.
Calculamos la proyección de A sobre r (la llamo C), para ello tomamos la recta perpendicular a r que pasa por A, la llamo t
t: y-6=-(x-1) --> y=-x+7
C=corte de r y t
y=-x+7
x-y-3=0 sustituimos la primera en la segunda
x+x-7-3=0 --> x=5 --> y= 2 --> C=(5,2)
Calculamos el simétrico de A respecto de r (lo llamo DE, por el que debe pasar la recta reflejada), para ello hacemos
D=A+2·(C-A)=(1,6)+2·(4,-4)=(9.-2)
La intersección de r con es es la misma que la de la recta que une DE y B con r
la recta que une DE y B es u que tien por vector director D-B=(6,-10) y por pendiente -6/10=-3/5 por lo que la recta es y+2=-3/5(x-9) --> 3x-5y-17=0
el corte de la recta 3x-5y-17=0 con r es
3x-5y-17=0
x-y-3=0 --> x=y+3 la sustiytuimos en la 1ª
3y+9-5y-17=0 --> -2y-8=0 --> y=-4 --> sustituyendo en la 2ª x+4-3=0 --> x=-1
El punto de corte es (-1,-4)
Calculamos la proyección de A sobre r (la llamo C), para ello tomamos la recta perpendicular a r que pasa por A, la llamo t
t: y-6=-(x-1) --> y=-x+7
C=corte de r y t
y=-x+7
x-y-3=0 sustituimos la primera en la segunda
x+x-7-3=0 --> x=5 --> y= 2 --> C=(5,2)
Calculamos el simétrico de A respecto de r (lo llamo DE, por el que debe pasar la recta reflejada), para ello hacemos
D=A+2·(C-A)=(1,6)+2·(4,-4)=(9.-2)
La intersección de r con es es la misma que la de la recta que une DE y B con r
la recta que une DE y B es u que tien por vector director D-B=(6,-10) y por pendiente -6/10=-3/5 por lo que la recta es y+2=-3/5(x-9) --> 3x-5y-17=0
el corte de la recta 3x-5y-17=0 con r es
3x-5y-17=0
x-y-3=0 --> x=y+3 la sustiytuimos en la 1ª
3y+9-5y-17=0 --> -2y-8=0 --> y=-4 --> sustituyendo en la 2ª x+4-3=0 --> x=-1
El punto de corte es (-1,-4)