Auxulio !

Este tipo de integrales son sencillas de resolver mediante métodos clásicos, si bien sus desarrollos suelen ser largos.
Por ello existen otros métodos alternativos, pero vamos a atacarla con la teoría de integrales que se enseñan en el bachiller.
Resolveremos la de sec^5(x), pues la otra es inmediata una vez que conozcamos ésta ( haciendo un cambio z=2x)
Primero, según la definición de sec(x) = 1/cos(x), la integral a resolver será:
Int[1/cos^5(x) * dx]
Para integrales trigonométricas de este tipo hay un cambio universal t=tg( x/2) que llevan la integral a una de tipo racional Int [P(x)/Q(x)], que siempre pueden resolverse.
Aún así, muchas veces basta un cambio t=sen(x) o t=cos(x). La idea es que haciendo alguno de estos cambios, te queden potencias pares de la otra variable trigonométrica, pues usando la relación fundamental de la trigonometriá: sen^2(x) + cos^2(x)=1, nos quedarán relaciones
sen(x)=sqrt(1-cos^2(x)) cos(x)=sqrt(1-sen^2(x))
sen^2(x)=1-cos^2(x) cos^2(x)=1-sen^2(x)
es decir, potencias impares implicarán raíces, pero potencias pares no
En nuestro caso el cambio correcto es:
t=sen(x)
diferenciando
dt=cos(x)*dx ----> dx=dt/cos(x)
Así pues
Int[1/cos^5(x) * dx]=Int[1/cos^5(x) * 1/cos(x) * dt] = Int[1/cos^6(x) * dt]
Así pues, poniendo la potencia par del coseno en funcion del seno, o sea de t
cos^6(x)=(1-sen^2(x))^3=(1-t^2)^3
Y nos queda la integral racional
Int[1/(1-t^2)^3 * dt]
Las integrales de este tipo pueden resolverse siempre ( si bien son desarrollos largos), y sus soluciones dependerán del tipo de raíces del polinomio que divide ( reales o imaginarias).
En nuestro caso, el polimio tiene 6 raíces reales, pero repetidas
(1-t^2)^3=[(1-t)(1+t)]^3=(1-t)(1-t)(1-t)(1+t)(1+t)(1+t)
o sea, las raíces serán: 1,1,1,-1,-1,-1
En tal caso debemos descomponer la división en suma de fracciones sencillas. Por comodidad cambiaremos el signo del polinomio
1/(1-t^2)^3=-1/(t^2-1)^3=A/(t-1)+B/(t-1)^2+C/(t-1)^3+D/(t+1)+E/(t+1)^2+F/(t+1)^3
Desarrollando y simplificando denominadores, nos quedará que para cualquier valor de t
[A(t-1)^2(t+1)^3+B(t-1)(t+1)^3+C(t+1)^3+D(t+1)^2(t-1)^3+E(t+1)(t-1)^3+F(t-1)^3]=-1
Aquí viene una parte del desarrollo pesada, pues dando valores a t, hemos de buscar un sistema que nos solucione el valor de A, B, C, DE, E, F
Los valores de C y F son inmediatos, pues si damos las raíces
t=-1 ---> -8F=-1 --->F=1/8
t=1 ----> 8C=-1 --->C=-1/8
Pero hemos darle otros cuatro valores a t para obtener un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas
t=0 --->A-B-1/8-D-E-1/8=-1
Hay que dar otros tres valores a t ( pequeños, para que queden números pequeños), y resolvemos el sistema. No tengo calculadora en este momento, y como soy muy mal calculista, no los he sacado, pero son fáciles de sacar ( aunque pesado).
Bien, una vez hayas resuleto el sistema, conseguimos que
Int[1/(1-t^2)^3 * dt]=Int[(A/(t-1)+B/(t-1)^2+C/(t-1)^3+D/(t+1)+E/(t+1)^2+F/(t+1)^3) * dt]
Y debido a la linealidad de las integrales, puedes poner la integral como integrales casi inmediatas. Te hago las tres primeras, pues el resto es análogo
Int[A/(t-1) * dt] = A*Ln(t-1) = A*Ln(senx -1)
Para las dos siguientes, hacemos z=t-1 ---> dz=dt
Int[B/(t-1)^2 * dt]=B*Int[1/z^2 * dz]=B*Int[z^(-2) * dz]=B*z^(-1)/(-1)=-B/z=-B/(t-1)=-B/(senx-1)
Int[C/(t-1)^3 * dt]=C*Int[1/z^3 * dz=C*Int[z^(-3) * dz]=C*z^(-2)/(-2)=-C/(2z^2)=-C/(2(t-1)^2)=-C/(2*(senx-1)^2
Al final las sumas todas y ya está ( más la constante)
Como ves un desarrollo un tanto farragoso, pero no complicado.
Una vez tengas esta resuelta, para resolver la otra es in mediata, haciendo el cambio
z=2x ---> dz=2dx ---> dx=dz/2
Int[sec^(2x) * dx]=Int[sec^2(z) * dz/2]=1/2 * Int[sec^2z * dz]
Y te quedará la anterior, pero sustituyendo x por z=2x y con un factor de 1/2
Bien, sólo comentarte que es posible que encuentres una solución con una expresión diferente, pero eso es normal en trigonometría en donde dos expresiones que no se parecen en nada, al final son iguales ( salvo una constante).
Hay métodos que hacen otros cambios, como t=tg(x/2), o poniendo las funciones trigonométricas en función del ángulo doble, o ... vete a saber, pero cómo ves el método expuesto es bastante mecánico, y lo único necesario es un poco de paciencia.