Demostracion por Induccion
Hola! Tengo la siguiente tarea, estamos viendo Inducción (apenas)
Considerando el siguiente polinomio P(x) = x² + x + 41. ¿Será cierto que para cualquier entero x el valor que se obtiene es un numero primo?
Se que este problema fue propuesto por Euler, y que NO se cumple para cualquier entero, ya que:
P(40) = 40² + 40 + 41 = 41² y este no es primo.
¿Pero mi pregunta es como puedo llegar a que esto no siempre se cumple por el método de inducción..? ¿O tengo que encontrar un contraejemplo para decir que no es cierto...? ... Porque igual y no pude haber visto eso del P(40) y creer que si se cumplía para todo valor de x
Espero me puedan ayudar...! Gracias!
Considerando el siguiente polinomio P(x) = x² + x + 41. ¿Será cierto que para cualquier entero x el valor que se obtiene es un numero primo?
Se que este problema fue propuesto por Euler, y que NO se cumple para cualquier entero, ya que:
P(40) = 40² + 40 + 41 = 41² y este no es primo.
¿Pero mi pregunta es como puedo llegar a que esto no siempre se cumple por el método de inducción..? ¿O tengo que encontrar un contraejemplo para decir que no es cierto...? ... Porque igual y no pude haber visto eso del P(40) y creer que si se cumplía para todo valor de x
Espero me puedan ayudar...! Gracias!
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Si no se cumple para algún número, será imposible demostrar por inducción que es cierto, sería contradictorio.
Y tampoco te va a servir para demostrar que es falso, porque también es contradictorio ya que unas veces a sido cierto y otras falso. Luego la inducción te va a generar un indeterminación.
Resumiendo, el método de inducción es realmente efectivo para demostrar que algo se cumple siempre, para demostrar lo contrario hay que usar otros métodos como el absurdo o el contraejemplo.
Espero que lo hallas entendido y te sirva de algo. No olvides puntuar la pregunta.
Y tampoco te va a servir para demostrar que es falso, porque también es contradictorio ya que unas veces a sido cierto y otras falso. Luego la inducción te va a generar un indeterminación.
Resumiendo, el método de inducción es realmente efectivo para demostrar que algo se cumple siempre, para demostrar lo contrario hay que usar otros métodos como el absurdo o el contraejemplo.
Espero que lo hallas entendido y te sirva de algo. No olvides puntuar la pregunta.
Ok... de echo intente hacerlo y pues me sale un numero primo más un numero par.. y pues no se si eso me genera un numero primo.. ¿eso seria la indeterminación que dices?...
¿Entonces cómo podría demostrar que es falso? (Por cualquier otro método)
Gracias :)
¿Entonces cómo podría demostrar que es falso? (Por cualquier otro método)
Gracias :)
Si, la inducción no aclara nada. Un primo más un par tanto puede ser primo como no. Y lo raro sería que con una operación tan simple tuviésemos siempre números primos cuando estos tienen cada vez menos densidad. Pero la inducción no nos va a confirmar ni una no otra cosa.
La forma de demostrar que es falso es encontrar un contraejemplo. No tiene porque ser buscado secuencialmente ni al azar, se podrán usar razonamientos e ingenio para llegar a él, pero al fin y al cabo lo que hay que hacer es encontrar ese contraejemplo.
En este caso y a la vista de la respuesta es fácil descubrir el método a posteriori, no se si se me habría ocurrido antes.
n^2 + n + 41 = n^2 + n + 40 + 1
Vemos que eso se transforma en el cuadrado de un binomio a^2 + 2ab + b^2 si tomamos n=40
40^2 + 40 + 40 +1 = 40^2 + 2 · 40 · 1 + 1^2
Pero ya te digo que se me ha ocurrido después de ver la solución, antes no sé si me hubiera ocurrido.
Seguramente habría empezado usando aritmética modular para comprobar que n^2 + n + 41 no es divisible por 3, 5, 7,... y me habría cansad antes de llegar a 41.
Vamos a ver otra forma:
n^2 + n + 41 = n(n+1) + 41
Vamos a hacer que eso sea múltiplo de 41, para ello basta con que 41 divida a n(n+1) puesto que la división tendrá por resultado:
(n(n+1) +41)/41 = n (n+1) / 41 + 1
Y así ya es bien fácil ver que hay muchos (infinitos) valores de n que hacen que el polinomio no genere números primos.
40, 41, 81, 82, 122, 123,...
Y puede que haya más de otra clase.
Bueno, que me enrollo mucho. La teoría de números no es mi fuerte y es una ciencia muy imaginativa, donde ha habido teoremas que han tardado más de trescientos años en demostrarse.
Y eso es todo. Espero que te haya ayudado. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
La forma de demostrar que es falso es encontrar un contraejemplo. No tiene porque ser buscado secuencialmente ni al azar, se podrán usar razonamientos e ingenio para llegar a él, pero al fin y al cabo lo que hay que hacer es encontrar ese contraejemplo.
En este caso y a la vista de la respuesta es fácil descubrir el método a posteriori, no se si se me habría ocurrido antes.
n^2 + n + 41 = n^2 + n + 40 + 1
Vemos que eso se transforma en el cuadrado de un binomio a^2 + 2ab + b^2 si tomamos n=40
40^2 + 40 + 40 +1 = 40^2 + 2 · 40 · 1 + 1^2
Pero ya te digo que se me ha ocurrido después de ver la solución, antes no sé si me hubiera ocurrido.
Seguramente habría empezado usando aritmética modular para comprobar que n^2 + n + 41 no es divisible por 3, 5, 7,... y me habría cansad antes de llegar a 41.
Vamos a ver otra forma:
n^2 + n + 41 = n(n+1) + 41
Vamos a hacer que eso sea múltiplo de 41, para ello basta con que 41 divida a n(n+1) puesto que la división tendrá por resultado:
(n(n+1) +41)/41 = n (n+1) / 41 + 1
Y así ya es bien fácil ver que hay muchos (infinitos) valores de n que hacen que el polinomio no genere números primos.
40, 41, 81, 82, 122, 123,...
Y puede que haya más de otra clase.
Bueno, que me enrollo mucho. La teoría de números no es mi fuerte y es una ciencia muy imaginativa, donde ha habido teoremas que han tardado más de trescientos años en demostrarse.
Y eso es todo. Espero que te haya ayudado. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
