Problema sobre coeficiente binomial,

Vamos a hacer uso de una propiedad de los números combinatorios que dice:
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)
Procede de la construcción de estos números a través del triángulo de Tartaglia y estará demostrada en mil sitios. Pero no hay inconveniente en volverla a demostrar.
C(n, m-1) + C(n, m) = n! / [(m-1)! (n - m +1)!] + n! / [m! (n-m)!] =
Tomamos denominador común con los factores m! y (n-m+1)! El primer numerador tendrá que ser multiplicado por m y el segundo por (n-m+1)
= [m · n! + (n-m+1) · n!] / [m! · (n-m+1)!] =
[m · n! + (n+1) · n! - m · n!] / [m! · (n-m+1)!] =
(n+1) · n! / [m! · (n-m+1)!] =
(n+1)! / [m! · (n-m+1)!] =
Tal vez un cambio de orden en el ultimo paréntesis nos haga verlo más claro
(n+1)! / [m! · (n+1-m)!] =
C(n+1, m)
Esta propiedad junto a las de C(n, 0) = 1 y C(n, n) = 1 nos servirá para descomponer cualquier número combinatorio en suma de otros que ya habíamos comprobado que eran enteros.
Vamos a dar este orden de demostración a la inducción
C(0,0) C(1,0) C(2,0) C(3,0)...
C(1,1) C(2,1) C(3,1) C(4,1)...
C(2,2) C(3,2) C(4,2) C(5,2)...
..
C(i,i) C(i+1,i) C(i+2,i)...
Y como comprobaciones iniciales pongamos las de la primera fila y la primera columna:
Todo C(n,0) es entero puesto que n!/(0! · n!) = n! / (1·n!) = 1
Todo C(n,n) es entero porque es n!/(n! · 0!) = n! / (n! ·1) = 1
Ahora suponemos que se cumple que es entero para C(n, m) y todos los anteriores según el orden que establecimos. Vamos a comprobar que se cumple para C(n+1, m)
C(n+1,m) = C(n, m-1) + C(n, m)
C(n+1, m ) es la suma de dos números combinatorios anteriores según nuestro orden, el primero es de la fila anterior y el segundo está a la izquierda. Luego por suposición eran enteros y su suma también lo será y C(n+1, m) es entero.