Necesito ayuda para resolver unos ejercicios de matemáticas
Ƒ(x) = 1/(1-x^2)^1/2 g(x)= ((x^2-1)^1/2)/x
a) Calcular la composición f o g. Dar la fórmula.
b) ¿Cuál es el dominio de f og? Y de gof?
Yo pude resolver el punto a) gráficamente, aunque me gustaría saber cómo resolverlo analíticamente. Hallé: fog:[-1,1]-->R, fog(x)=1/raíz de(1-(raíz de((x^2-1)/x))^2) (¿lo hice bien?).
El punto b) no pude hacerlo, no sé cómo calcular la imagen.
a) Calcular la composición f o g. Dar la fórmula.
b) ¿Cuál es el dominio de f og? Y de gof?
Yo pude resolver el punto a) gráficamente, aunque me gustaría saber cómo resolverlo analíticamente. Hallé: fog:[-1,1]-->R, fog(x)=1/raíz de(1-(raíz de((x^2-1)/x))^2) (¿lo hice bien?).
El punto b) no pude hacerlo, no sé cómo calcular la imagen.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
La composición fog(x) es f[g(x)].
Pero verlo claramente la regla de la composición, toma la función f(x) y donde ponga x lo sustituyes por g(x)
g(x)= ((x^2-1)^1/2)/x
Pongámoslo en un corchete para que quede más claro
g(x)= [((x^2-1)^1/2)/x]
ƒ(x) = 1/(1-x^2)^1/2
Y ahora hacemos eso que decia, donde pone x en el lado derecho ponemos el corchete
f[g(x)] =1/(1 - [((x^2-1)^1/2)/x]^2)^1/2
Y ahora operamos la maraña de paréntesis y corchetes que hay, si no lo ves claro lo mejor es escribirlo en papel con la escritura habitual de las matemáticas y lo verás mejor.
f[g(x)] = 1/(1 - (x^2-1)/(x^2))^1/2
f[g(x)] = 1/[(x^2 - x^2 +1)/(x^2)]^1/2
f[g(x)] =1/[1/(x^2)]^1/2
f[g(x)] = 1/[1/x]
f[g(x)] = x
Luego fog(x) = x a primera vista
Pero eso solo es la regla, para definir bien la función hay que dar el dominio.
Dom fog = {x | x € Dom g y g(x) € Dom f}
Comenzamos calculando el Dom g. Hay una raíz cuadada, luego el radicando debe ser mayor que cero.
x^2 - 1 >= 0
x^2 >= 1
Dom g = (-oo, -1] U [1, +oo)
Ahora calculamos Im g
Para todos los estudios que vamos a hacer es conveniente expresar el valor absoluto de g de otra forma, introduciendo la x del denominador dentro del radicando.
|g(x)| =|[(x^2-1)^1/2]/x| = |[(x^2-1) / (x^2)]^(1/2)| = |1 - 1/(x^2)|^(1/2)
Y dado que x^2 >= 1 ==> 1/(x^2) <=1 ==> 1 - 1/(x^2) >=0 luego
|g(x)| = [1 - 1/(x^2)] ^(1/2)
O lo que es mejor, podemos expresar g(x)
g(x) = signo(x) · [1 - 1/(x^2)] ^(1/2)
Y ahora a calcular:
lim x--> -oo de signo(x) · [1 - 1/(x^2)] ^(1/2) = -1 · [1 - 1/-oo]^(1/2) = -1·[1+0] = -1
Ahora conforme vamos de -oo a -1 el sustreando 1/(x^2) crece de 0 a 1 luego
g(x) = signo(x) · [1 - 1/(x^2)] ^(1/2) crece de -1 a 0
Y análogamente se ve que desde 1 hasta +oo la función crece de 0 a 1
Así pues, Im g (-1,1)
Hemos demostrado que para todo x € (-oo, -1] U [1, +oo) se cumple g(x) € (-1,1)
Y como Dom f = (-1,1) se cumple g(x) € Dom f
(Bueno eso del Dom f no estaba demostrado, es (-1, 1) porque debe ser 1-x^2 > 0 ==> x^2<1)
Luego Dom fog = (-oo, -1] U [1, +oo)
fog: (-oo, -1] U [1, +oo) ------>[1, +oo)
fog(x) = |x|
¡Caramba, si que ha sido complicado! Como nos decían cuando estudiaba, la demostración de gof la dejamos como ejercicio para el alumno. Si no te sale ya te ayudaré, pero ahora tengo que descansar.
Pero verlo claramente la regla de la composición, toma la función f(x) y donde ponga x lo sustituyes por g(x)
g(x)= ((x^2-1)^1/2)/x
Pongámoslo en un corchete para que quede más claro
g(x)= [((x^2-1)^1/2)/x]
ƒ(x) = 1/(1-x^2)^1/2
Y ahora hacemos eso que decia, donde pone x en el lado derecho ponemos el corchete
f[g(x)] =1/(1 - [((x^2-1)^1/2)/x]^2)^1/2
Y ahora operamos la maraña de paréntesis y corchetes que hay, si no lo ves claro lo mejor es escribirlo en papel con la escritura habitual de las matemáticas y lo verás mejor.
f[g(x)] = 1/(1 - (x^2-1)/(x^2))^1/2
f[g(x)] = 1/[(x^2 - x^2 +1)/(x^2)]^1/2
f[g(x)] =1/[1/(x^2)]^1/2
f[g(x)] = 1/[1/x]
f[g(x)] = x
Luego fog(x) = x a primera vista
Pero eso solo es la regla, para definir bien la función hay que dar el dominio.
Dom fog = {x | x € Dom g y g(x) € Dom f}
Comenzamos calculando el Dom g. Hay una raíz cuadada, luego el radicando debe ser mayor que cero.
x^2 - 1 >= 0
x^2 >= 1
Dom g = (-oo, -1] U [1, +oo)
Ahora calculamos Im g
Para todos los estudios que vamos a hacer es conveniente expresar el valor absoluto de g de otra forma, introduciendo la x del denominador dentro del radicando.
|g(x)| =|[(x^2-1)^1/2]/x| = |[(x^2-1) / (x^2)]^(1/2)| = |1 - 1/(x^2)|^(1/2)
Y dado que x^2 >= 1 ==> 1/(x^2) <=1 ==> 1 - 1/(x^2) >=0 luego
|g(x)| = [1 - 1/(x^2)] ^(1/2)
O lo que es mejor, podemos expresar g(x)
g(x) = signo(x) · [1 - 1/(x^2)] ^(1/2)
Y ahora a calcular:
lim x--> -oo de signo(x) · [1 - 1/(x^2)] ^(1/2) = -1 · [1 - 1/-oo]^(1/2) = -1·[1+0] = -1
Ahora conforme vamos de -oo a -1 el sustreando 1/(x^2) crece de 0 a 1 luego
g(x) = signo(x) · [1 - 1/(x^2)] ^(1/2) crece de -1 a 0
Y análogamente se ve que desde 1 hasta +oo la función crece de 0 a 1
Así pues, Im g (-1,1)
Hemos demostrado que para todo x € (-oo, -1] U [1, +oo) se cumple g(x) € (-1,1)
Y como Dom f = (-1,1) se cumple g(x) € Dom f
(Bueno eso del Dom f no estaba demostrado, es (-1, 1) porque debe ser 1-x^2 > 0 ==> x^2<1)
Luego Dom fog = (-oo, -1] U [1, +oo)
fog: (-oo, -1] U [1, +oo) ------>[1, +oo)
fog(x) = |x|
¡Caramba, si que ha sido complicado! Como nos decían cuando estudiaba, la demostración de gof la dejamos como ejercicio para el alumno. Si no te sale ya te ayudaré, pero ahora tengo que descansar.
