Ejercicio de calculo de probabilidades
Hola este es un ejercicio sencillo pero me estoy liando la cabeza,
agradecería si me puedes ayudar.
Dos urnas contienen 1 bola blanca y 2 negras y 2 bolas blancas y 1 negra respectivamente.
Se extrae al azar una bola de cada urna y se depositan en una tercera urna vacía ; finalmente
se extrae al azar una bola de la tercera urna.
a) Dados los sucesos
B1 = "obtener una bola blanca en la primera urna"
N2 = "obtener una bola negra en la segunda urna"
B = "obtener una bola blanca en la ultima extraccion"
Analizar la independencia de :
i) B1 y B ; ii) N2 y B ; iii) (B1 /\ N2) y B
(donde /\ es la interseccion)
Calcular :
b) Probabilidad de que las 2 bolas en la tercera urna sean del mismo color.
c) Probabilidad de que la ultima bola extraída sea blanca.
d) Probabilidad de que en la tercera urna hubiese una bola de cada color si la ultima bola obtenida es blanca.
Yo responderia asi :
a) Dados dos sucesos A y B, son independientes si A /\ B = 0 , el conjunto vacio. Por tanto
en ningún caso se da la independencia de sucesos.
b)
P(MC) = P(B1B2) + P(N1N2) = (2/3)*(1/3) + (1/3)*(2/3) = 4/9
c)
En la tercera urna se pueden dar cuatro combinaciones
U1 : 1 bola blanca de la primera urna, 1 bola blanca de la segunda (B1B2),
P(U1) = (2/3)*(1/3) = 2/9
U2 : N1N2 , P(U2) = (1/3)*(2/3) = 2/9
U3 : B1N2 , P(U3) = (2/3)*(2/3) = 4/9
U4 : N1B2 , P(U4) = (1/3)*(1/3) = 1/9
Aplicando la ley de la probabilidad total
P(B) = P(B/U1)P(u1) + ... + p(B/u4)P(U4) =
= 1*(2/9) + 0*(2/9) + (1/2)*(4/9) + (1/2)*(4/9) = 1/2
d)
P(MC / B)
Usando la regla de Bayes :
P(MC / B) = (P(B/MC) P(MC)) /P(B)
P(B/MC) = 1/2 , (yo creo que es asi pero no estoy nada seguro)
Por tanto : P(MC/B) = (1/2)*(4/9)/(1(2) = 4/9
¿Me estoy equivocando?
agradecería si me puedes ayudar.
Dos urnas contienen 1 bola blanca y 2 negras y 2 bolas blancas y 1 negra respectivamente.
Se extrae al azar una bola de cada urna y se depositan en una tercera urna vacía ; finalmente
se extrae al azar una bola de la tercera urna.
a) Dados los sucesos
B1 = "obtener una bola blanca en la primera urna"
N2 = "obtener una bola negra en la segunda urna"
B = "obtener una bola blanca en la ultima extraccion"
Analizar la independencia de :
i) B1 y B ; ii) N2 y B ; iii) (B1 /\ N2) y B
(donde /\ es la interseccion)
Calcular :
b) Probabilidad de que las 2 bolas en la tercera urna sean del mismo color.
c) Probabilidad de que la ultima bola extraída sea blanca.
d) Probabilidad de que en la tercera urna hubiese una bola de cada color si la ultima bola obtenida es blanca.
Yo responderia asi :
a) Dados dos sucesos A y B, son independientes si A /\ B = 0 , el conjunto vacio. Por tanto
en ningún caso se da la independencia de sucesos.
b)
P(MC) = P(B1B2) + P(N1N2) = (2/3)*(1/3) + (1/3)*(2/3) = 4/9
c)
En la tercera urna se pueden dar cuatro combinaciones
U1 : 1 bola blanca de la primera urna, 1 bola blanca de la segunda (B1B2),
P(U1) = (2/3)*(1/3) = 2/9
U2 : N1N2 , P(U2) = (1/3)*(2/3) = 2/9
U3 : B1N2 , P(U3) = (2/3)*(2/3) = 4/9
U4 : N1B2 , P(U4) = (1/3)*(1/3) = 1/9
Aplicando la ley de la probabilidad total
P(B) = P(B/U1)P(u1) + ... + p(B/u4)P(U4) =
= 1*(2/9) + 0*(2/9) + (1/2)*(4/9) + (1/2)*(4/9) = 1/2
d)
P(MC / B)
Usando la regla de Bayes :
P(MC / B) = (P(B/MC) P(MC)) /P(B)
P(B/MC) = 1/2 , (yo creo que es asi pero no estoy nada seguro)
Por tanto : P(MC/B) = (1/2)*(4/9)/(1(2) = 4/9
¿Me estoy equivocando?
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Aunque cometes algún error
a) Aquí confundes dos conceptos diferentes: independencia e incompatibilidad
Incompatibilidad: dos sucesos son incompatibles si no pueden producirse a la vez, por ejemplo
A: Sacar un 3 en una tirada de un dado
B: Sacar un número par
Este es el caso en el que A/\B = 0, por lo que
P(A/\B) = 0
Independencia: Dos sucesos son independientes si el hecho que uno se produzca no interviene en la probabilidad de que se produzca el otro, por ejemplo
A: Mañana llueve
B: Saco un 6 al tirar un dado
En este caso, si hacemos probabilidad condicionada, la probabilidad de que se produzca A sabiendo que se ha producido B, es la misma que se produzca A, o sea
P(A/B)=P(A)
y
Como
P(A/B) = P(A/\B)/P(B)
si A y B son independientes, entonces
P(A/\B)/P(B) = P(A)
con lo que
P(A/\B) = P(A)*P(B)
que será la regla que usaremos para comprobar la independencia de sucesos
Además, la unión de suscesos ( el ó lógico), nos dice
P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A/\B)
con lo cual se dan dos casos
A y B incompatibles:P(A/\B)=0
P(AUB) = P(A) + P(B)
A y B independientes:P(A/\B) = P(A)*P(B)
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A)*P(B)
Esto hace que podamos plantear estos problemas mediante la técnica de árboles, sin necesidad de recurrir a los teoremas de la probabilidad ( Bayes, probabilidad total...), sino que sólo usaremos el concepto de la probabilidad de Laplace para casos equiprobables (casos favorables entre casos totales).
Si desarrollas el árbol y en cada caso vas reorganizando las urnas, todos los caminos intermedios son independientes ( se multiplican probabilidades) y las ramas diferentes son incompatibles ( o se saca una cosa, o se saca otra), o sea que si un suceso son varias ramas, no hay más que sumarlas(su interseccíon es nula)
De esta forma nos quedan 8 posibilidades diferentes organizando el árbol empezando con la primera bola (B1 o N1), segunda bola (B2 o N2) y tercera bola (B3 o N3)
Y todo el espacio muestral se recoge en el árbol ...
Continúa
a) Aquí confundes dos conceptos diferentes: independencia e incompatibilidad
Incompatibilidad: dos sucesos son incompatibles si no pueden producirse a la vez, por ejemplo
A: Sacar un 3 en una tirada de un dado
B: Sacar un número par
Este es el caso en el que A/\B = 0, por lo que
P(A/\B) = 0
Independencia: Dos sucesos son independientes si el hecho que uno se produzca no interviene en la probabilidad de que se produzca el otro, por ejemplo
A: Mañana llueve
B: Saco un 6 al tirar un dado
En este caso, si hacemos probabilidad condicionada, la probabilidad de que se produzca A sabiendo que se ha producido B, es la misma que se produzca A, o sea
P(A/B)=P(A)
y
Como
P(A/B) = P(A/\B)/P(B)
si A y B son independientes, entonces
P(A/\B)/P(B) = P(A)
con lo que
P(A/\B) = P(A)*P(B)
que será la regla que usaremos para comprobar la independencia de sucesos
Además, la unión de suscesos ( el ó lógico), nos dice
P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A/\B)
con lo cual se dan dos casos
A y B incompatibles:P(A/\B)=0
P(AUB) = P(A) + P(B)
A y B independientes:P(A/\B) = P(A)*P(B)
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A)*P(B)
Esto hace que podamos plantear estos problemas mediante la técnica de árboles, sin necesidad de recurrir a los teoremas de la probabilidad ( Bayes, probabilidad total...), sino que sólo usaremos el concepto de la probabilidad de Laplace para casos equiprobables (casos favorables entre casos totales).
Si desarrollas el árbol y en cada caso vas reorganizando las urnas, todos los caminos intermedios son independientes ( se multiplican probabilidades) y las ramas diferentes son incompatibles ( o se saca una cosa, o se saca otra), o sea que si un suceso son varias ramas, no hay más que sumarlas(su interseccíon es nula)
De esta forma nos quedan 8 posibilidades diferentes organizando el árbol empezando con la primera bola (B1 o N1), segunda bola (B2 o N2) y tercera bola (B3 o N3)
Y todo el espacio muestral se recoge en el árbol ...
Continúa
P(B1B2B3)=(1/3)(2/3)1=2/9
P(B1B2N3)=(1/3)(2/3)0=0
P(B1N2B3)=(1/3)(1/3)(1/2)=1/18
P(B1N2N3)=(1/3)(1/3)(1/2)=1/18
P(N1B2B3)=(2/3)(2/3)(1/2)=2/9
P(N1B2N3)=(2/3)(2/3)(1/2)=2/9
P(N1N2B3)=(2/3)(1/3)0=0
P(N1N2N3)=(2/3)(1/3)1=2/9
Ahí está el espacio muestral, respondamos ahora a las preguntas
A:Obtener bola blanca en la primera urna
P(A) = P(B1) = 1/3
B:Obtener bola negra en la segunda
P(B) = P(N2) = 2/3
C:Obtener bola blanca en la tercera
P(C)=P(B1B2B3)+P(B1N2B3)+P(N1B2B3)+P(N1N2B3)
P(C) = 2/9+1/18+2/9+0=1/2
Independencia entre A y C
P(A/\C)=P(B1B2B3)+P(B1N2B3)
P(A/\C)=2/9+1/18=5/18
pero
P(A)*P(C)=(1/3)*(1/2)=1/6
luego no son independientes
Independencia entre B y C
P(B/\C)=P(B1N2B3)+P(N1N2B3)
P(B/\C)=1/18+0=1/18
pero
P(B)*P(C)=(2/3)*(1/2)=1/3
luego no son independientes
Independencia entre (A/\B)yC
Sea D=A/\B
P(D) = P(B1N2)=(1/3)(1/3)=1/9
Se aprecia que A y B si son independientes ( lo que saque en la primera urna no influye en la segunda urna)
P(D y C) = P(B1N2B3)=(1/3)(1/3)(1/2)=1/18
pero
P(D)*P(C)=(1/9)(1/2)=1/18
Luego estos si son independientes
...
P(B1B2N3)=(1/3)(2/3)0=0
P(B1N2B3)=(1/3)(1/3)(1/2)=1/18
P(B1N2N3)=(1/3)(1/3)(1/2)=1/18
P(N1B2B3)=(2/3)(2/3)(1/2)=2/9
P(N1B2N3)=(2/3)(2/3)(1/2)=2/9
P(N1N2B3)=(2/3)(1/3)0=0
P(N1N2N3)=(2/3)(1/3)1=2/9
Ahí está el espacio muestral, respondamos ahora a las preguntas
A:Obtener bola blanca en la primera urna
P(A) = P(B1) = 1/3
B:Obtener bola negra en la segunda
P(B) = P(N2) = 2/3
C:Obtener bola blanca en la tercera
P(C)=P(B1B2B3)+P(B1N2B3)+P(N1B2B3)+P(N1N2B3)
P(C) = 2/9+1/18+2/9+0=1/2
Independencia entre A y C
P(A/\C)=P(B1B2B3)+P(B1N2B3)
P(A/\C)=2/9+1/18=5/18
pero
P(A)*P(C)=(1/3)*(1/2)=1/6
luego no son independientes
Independencia entre B y C
P(B/\C)=P(B1N2B3)+P(N1N2B3)
P(B/\C)=1/18+0=1/18
pero
P(B)*P(C)=(2/3)*(1/2)=1/3
luego no son independientes
Independencia entre (A/\B)yC
Sea D=A/\B
P(D) = P(B1N2)=(1/3)(1/3)=1/9
Se aprecia que A y B si son independientes ( lo que saque en la primera urna no influye en la segunda urna)
P(D y C) = P(B1N2B3)=(1/3)(1/3)(1/2)=1/18
pero
P(D)*P(C)=(1/9)(1/2)=1/18
Luego estos si son independientes
...
b)Probabilidad que las dos sean del mismo color
Exacto
P(MC)=P(B1B2)+P(N1N2)
P(MC)=(1/3)(2/3)+(2/3)(1/3)=4/9
c)Probabilidad de la última blanca
Está bien
C:Obtener bola blanca en la tercera
P(C)=P(B1B2B3)+P(B1N2B3)+P(N1B2B3)+P(N1N2B3)
P(C) = 2/9+1/18+2/9+0=1/2
d) Es probabilidad condicionada
Probabilidad que sean del mismo color sabiendo que la última es blanca
P(MC/B3)=P(MC/\B3)/P(B3)
P(MC/\B3) = P(B1N2B3)+P(N1B2B3)
P(MC/\B3) = 1/18+2/9 = 5/18
P(B3)=1/2
luego
P(MC/B3) = (5/18)/(1/2)=5/9
Si quieres puedes usar la regla de Bayes, pero tu error
es considerar
P(B3/MC)=1/2
puesto que
P(B3/MC) = P(B3/\MC)/P(MC)
P(B3/MC) = (5/18)/(4/9)=5/8
Ahora
P(MC/B)=(P(B/MC)P(MC))/P(B)
P(MC/B)=(5/8)(4/9)/(1/2)=5/9
Exacto
P(MC)=P(B1B2)+P(N1N2)
P(MC)=(1/3)(2/3)+(2/3)(1/3)=4/9
c)Probabilidad de la última blanca
Está bien
C:Obtener bola blanca en la tercera
P(C)=P(B1B2B3)+P(B1N2B3)+P(N1B2B3)+P(N1N2B3)
P(C) = 2/9+1/18+2/9+0=1/2
d) Es probabilidad condicionada
Probabilidad que sean del mismo color sabiendo que la última es blanca
P(MC/B3)=P(MC/\B3)/P(B3)
P(MC/\B3) = P(B1N2B3)+P(N1B2B3)
P(MC/\B3) = 1/18+2/9 = 5/18
P(B3)=1/2
luego
P(MC/B3) = (5/18)/(1/2)=5/9
Si quieres puedes usar la regla de Bayes, pero tu error
es considerar
P(B3/MC)=1/2
puesto que
P(B3/MC) = P(B3/\MC)/P(MC)
P(B3/MC) = (5/18)/(4/9)=5/8
Ahora
P(MC/B)=(P(B/MC)P(MC))/P(B)
P(MC/B)=(5/8)(4/9)/(1/2)=5/9
Hay un error en la última parte
Lo que he calculado es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que son de distinto color, y era lo contrario.
P(MC/\B3)=P(B1B2B3)=2/9
luego
P(MC/B3)=(2/9)/(1/2)=4/9
Efectivamente tenías razón en tu planteamiento
P(B3/MC)=P(B3/\MC)/P(MC)
P(B3/MC)=(2/9)/(4/9)=1/2
Conceptualmente, tal y como habías intuido esta es de 1/2, pues al ser del mismo color, sólo pueden ser las dos blancas o las dos negras. Ambos casos son igual de probables, y en uno sacamos blanca el 100% y en el otro nunca, así que estamos a un 50%
Lo que he calculado es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que son de distinto color, y era lo contrario.
P(MC/\B3)=P(B1B2B3)=2/9
luego
P(MC/B3)=(2/9)/(1/2)=4/9
Efectivamente tenías razón en tu planteamiento
P(B3/MC)=P(B3/\MC)/P(MC)
P(B3/MC)=(2/9)/(4/9)=1/2
Conceptualmente, tal y como habías intuido esta es de 1/2, pues al ser del mismo color, sólo pueden ser las dos blancas o las dos negras. Ambos casos son igual de probables, y en uno sacamos blanca el 100% y en el otro nunca, así que estamos a un 50%
