Ideal de polinomios sobre un campo
Hola! Ojalá me puedas ayudar.
Sea F un campo y sean f(x), g(x) en F[x].
Demuestre que
N={r(x)f(x)+s(x)g(x)|r(x),s(x) en F[x]}
es un ideal de F[x].
Demuestre que si f(x) y g(x0 tienen grados diferentes y N diferente F[x], entonces f(x) y g(x) no pueden ser ambos irreducibles sobre F.
Gracias.
1 Respuesta
Primero veamos que N es un subgrupo por el teorema de caracterización de subgrupos
i) No es vacío porque el polinomio nulo pertenece a N es el que se obtiene con r(x)=s(x)=0
ii) Sean a, b € N
a = r(x)f(x) + s(x)g(x)
b = t(x)f(x) + u(x)g(x)
a + (-b) = r(x)f(x) + s(x)g(x) - t(x)f(x) - u(x)g(x) =
[r(x)-t(x)]f(x) + [s(x)-u(x)]g(x)
que es un polinomio de N.
Luego es un subgrupo
Ahora veamos que es un ideal
Sea a(x) € N y p(x) € F(x)
a(x) =r(x)f(x)+s(x)g(x)
a(x) · p(x) = p(x) · a(x) = p(x)[r(x)f(x)+s(x)g(x)] =
p(x)r(x)f(x) + p(x)s(x)g(x)
que es un polinomio de N.
Luego N es un ideal.
La otra parte seguramente necesitará teoría que ahora mismo no recuerdo. Si me dices al libro a lo mejor puedo conseguir algo.
Hola!
Pues la maestra solo da la clase, pero en la bibliografía que nos dió está esto:
1.Larry C. Grove, Álgebra, Academic Press 1983.
2. I.N, Herstein, Álgebra Abstracta, Grupo editorial Iberoamericano, 1986.
3.Gentile, Estructuras Algebraicas, OEA 1970.
Gracias.
Gracias.!
Solo he podido descargar el de Herstein. No he podido mirarlo, pero tengo algún recuerdo. Mira a ver si lo que te digo se puede aplicar y tú le das el rigor que sea necesario a la demostración.
Si f(x) y g(x) fueran irreducibles y al no poder ser el mismo por tener grado distinto, entonces el máximo común divisor sería 1
Y entonces (por un lema o teorema cuyo nombre no recuerdo) existirían sendos polinomios r(x) y s(x) tales que
r(x)f(x)+s(x)g(x) = 1
Entonces dado cualquier polinomio p(x) de F(x) tendríamos
p(x)[r(x)f(x)+s(x)g(x)] = 1
[p(x)r(x)]f(x) + [p(x)s(x)]g(x) = 1
por lo que p(x) € N
Lo cual es contradictorio porque N no es todo F(x).
Y eso es todo.
