Resolver estas sucesiones

La segunda sucesión se resuelve muy fácil, pero la primera serie ha costado lo suyo, aunque una vez descubierta es muy sencilla.
La mayor parte de los problemas de este tipo consisten en sumar o multiplicar cada término por un número que suele ser o constante (en cuyo caso es una progresión), o seguir una relación de recurrencia fácil.
Veamos qué trucos has de emplear para resolver estos problemas
2º 1/2,-1/24,1/720,-1/40320
Lo primero es ver que el signo alterna. Este tipo de alternancias obedecen siempre al factor
(-1)^n si empieza negativo
(-1)^(n+1) si empieza positivo, como en nuestro caso
Si nos fijamos en los números de abajo
2,24,720,40320
Vemos que crecen muy rápido. Esto indica que la sucesión es exponencial o factorial.
Veamos que ocurre dividiendo cada número entre el anterior
24=2=12
720/24=30
40320/720=56
Probando un poco comprobamos que
12=3*4
30=5*6
56=7*8
O sea que la sucesión es
n=1-->2(2*1)!
n=2-->24=2*3*4=(2*2)!
n=3-->720=2*3*4*5*6=(2*3)!
n=4-->40320=2*3*4*5*6*7*8=(2*4)!
n--->(2*n)!
Así pues la sucesión es
dn=(-1)^(n+1)*1/(2*n)!
1º Las sucesiones con fracciones a veces son complicadas de ver, pues la fracción de los términos está simplificada.
En este caso al haber un 0, no parece que sigan reglas de multiplicación, sino de suma.
Después de probar algunas cosas me he dado cuenta que
-1/2=-2/4
0=0/6
1/4=2/8
2/5=4/10
1/2=6/12
con lo que nos queda
-2/4,0/6,2/8,4/10,6/12
Obviamente arriba y abajo se siguen progresiones aritméticas, cuyo término general sale
an=a1+(n-1)*d
En este caso la distancia d es d=2 para ambas progresiones, luego
an=-2+(n-1)*2=-2+2*n-2=2*n-4
bn=4+(n-1)*2=4+2*n-2=2*n+2
Luego la sucesión es
cn=(2*n-4)/(2*n+2)

..
n=1-->2=(2*1)!
n=2-->24=2*3*4=(2*2)!
n=3-->720=2*3*4*5*6=(2*3)!
n=4-->40320=2*3*4*5*6*7*8=(2*4)!

Después de ver la extraordinaria respuesta dada por el experto Pab1, aún me siguen impresionando más las matemáticas por el hecho de que a veces hacemos fácil lo difícil.
"Mea culpa" es no haberme dado cuenta de qué fácil era la primera sucesión, pero tardé un tiempo en hallar la respuesta y luego ni siquiera la simplifiqué cunado había encontrado la solución que lo satisfacía:
Evidentemente:
cn=(2*n-4)/(2*n+2)=[2*(n-2)/(2*(n+1)]=(n-2)/(n+1)
Las matemáticas siempre son m´s fáciles de lo que imaginamos, pero a veces lo complicamos demasiado.

Supongo que necesitas encontrar el término general de ambas sucesiones...
1) Para que la veas más clara considérala así:
{Cn}={-1/2, 0/3, 1/4, 2/5, 3/6 ...} que es totalmente equivalente.
Ahora observa la relación que hay entre los numeradores de cada término (-1,0,1,2,3...)y luego la relación entre los denominadores de cada término (2,3,4,5,6...)
Habiendo hecho notar esto, es sencillo denotar al termino general de la sucesión como:
{Cn}= (n-2)/(n+1) con n perteneciente a los Naturales
2) Observa que los denominadores de esta sucesión crecen muy rápidamente. Con un poco de práctica vemos de inmediato que son factoriales, y más exactamente los factoriales de los números pares.
También observamos que la serie es alternante... luego, su término general es:
{Dn}=((-1)^(n+1))/(2n!) con n perteneciente a los Naturales