Derivadas de una función y su representación por medio de la Serie de Taylor

Este ejercicio es calcado al que hicimos con la función seno.

Lo primero calcularemos las derivadas en el punto x=0

cos'(x) = -senx ==> cos'(0) = 0

cos''(x) = -cosx ==> cos''(0) = -1

cos'''(x) = senx ==> cos'''(0) = 0

cos''''(x) = cosx ==> cos''''(0) = 1

Y ya se repite el ciclo de derivadas

Ahora usaremos la fórmula de Taylor

cosx = cos0 + cos'(0) + (1/2!)cos''(0)·x^2 + (1/3!)cos'''(0)x^3 + (1/4!)cos''''(0)x^4

cosx = 1 - x^2/2 + x^4/4! - x^6/6!

Se puede expresar de forma compacta de esta forma

$$cosx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$

Aunque esta forma es engañosa para aplicar los teoremas de las series de potencias.

Como ya te dije cuando hicimos la serie del seno no se puede usar el criterio del cociente par hallara el radio de convergencia porque habría divisores 0. Luego usaremos el criterio de la raíz enésima.

$$\begin{align}&L=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n!}} =\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n!}}=\\ &\\ &\text {usando la fórmula de Stirling}\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}}}=\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\frac ne\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}}}=\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\frac ne·1}= 0\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y el radio de convergencia es 1/L, cuando L=0 el radio de convergencia es infinito.

Y eso es todo.