Estadística matemática con aplicaciones 6

24)

Primero hay que calcular la probabilidad de que salgan 0, 1 o 2 botellas defectuosas entre las dos que tomamos.

P(0 defectuosas) = 0,9 · 0,9 = 0,81

P(2 defectuosas) = 0,1 · 0,1 = 0,01

P(1 defectuosa) = 1 - 0,81 - 0,01 = 0,18

Como otras veces, se podría haber calculado directamente de P(1 defectuosa) como

P(primera mal y segunda bien) + P(primera bien y segunda mal) =

0,1 · 0,9 + 0,9 · 0,1= 0,09+0,09 = 0,18

Y la media es como siempre el sumatorio de los valores por sus probabilidades respectivas

Media = 0 · 0,81 + 1 · 0,18 + 2 · 0,01 = 0,2 botellas defectuosas

Y la varianza es la esperanza de (Y-media)^2

V(Y) = 0,81·(0-0,2)^2 + 0,18(1-0,2)^2 + 0,01(2-0,2)^2 =

0,81·0,04 + 0,18·0,64 + 0,01·3,24 =

0,0324 + 0,1152 + 0,0324 = 0,18

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26) Vamos a calcular las probabilidades de vender $0, $50000 o $100000, que esa son las posibilidades que tiene.

Primero calculemos las probabilidades de vender al cliente primero. Ha tenido que poder contactar con el y que le haya dicho que si.

P(venta al cliente nº 1) = (1/3)·0,1 = 1/30

Y para el cliente nº 2 similar

P(venta al cliente nº 2) = (2/3)·0,1 = 2/30

Las probabilidades complementarias son

P(no vender al nº 1) = 1 - 1/30 = 29/30

P(no vender al nº 2) = 1 - 2/30 = 28/30

Y ahora calculamos las probabilidades de las dos ventas posibles

P(vender $0) = (29/30)(28/30) = 812/900 = 0,90222...

P(vender $100000) = (1/30)(2/30) = 2 / 900 =0,00222...

P(vender $50000) = 1-812/900-2/900 = 86/900 = 0,09555...

Como siempre hago el último paso como se haría directamente también, vendiendo (si al 1 y no al 2) y (no al 1 y si al 2)

P(vender $50000) = (1/30)(28/30) + (29/30)(2/30) = (28+58)/ 900 = 86/900

Y la media como siempre, suma de valores por probabilidades

Media = 0 · 812/900 + 50000 · 86/900 + 100000 · 2/900 = 4500000/900 = $5000

Y la varianza es la esperanza aquí expresada

V(Y) = E[(Y-media)^2] =

(812/900)(0-5000)^2 + (86/900)(50000-5000)^2 + (2/900)(100000-5000)^2 =

(1/900)(2,03·10^10 + 1,7414·10^11 + 1,805·10^10 ) =

(1/900)2,1249·10^11 = 236100000