Valor residual esperado.

Yo confiaría que el valor esperado de la función valor residual sea igual que la función valor residual del tiempo de vida esperado, pero no estoy seguro. Siendo así y de acuerdo con los datos que me das sería:

E(ValorResidual) = 100 / (4+4) = 100 / 8 = 12,5 €

Pero esto sirve para las funciones lineales y esta no lo es, así que para tener la seguridad completa hay que hacer la integral de x por la función valor residual.

Comienzo desde cero.

Veo un primer fallo. Cuando dices que F(x) es la función de distribución creo que es no es cierto. F(x) debe ser en realidad la función de densidad y por tanto se escribiría con minúscula f(x)

Luego, al integrar es cuando obtendremos F(x) que sería la de distribución.

¿Es verdad que se comete ese error?

Bien, acabo de revisar el ejercicio y esta escrito igual, supongo que es un error de digitación u omisión del docente, ya que hace mención por escrito de ser una función de distribución. además que en todos los ejercicios, usa la misma letra F para referirse a ambas distribuciones.
En cuanto al ejercicio, sinceramente no se como hallar el valor residual esperado, supuse que era necesario actualizarla a una taza de interés.
Saludos.

Voy a responder la pregunta en vez de esperar la aclaración. Entonces lo que hago es que supongo que esa función que me das es la función de densidad de X

f(x) = k(x+4)^3 Para x >= 0

Para calcular k hacemos que la integral entre -oo y +oo de la función dew densidad valga 1. Como en (-oo, 0] la función de densidad es nula basta con hacer la integral entre 0 y +oo

$[k / (x+4)^3]dx entre 0 y +oo =

-(k/2)(x+4)^(-2) entre 0 y +oo =

0 + k/(2·4^2) = k/32

Como eso debe valer 1

k/32 = 1

k = 32

El valor esperado es

$[32x / (x+4)^3]dx entre 0 y +oo = 32$[x/(x+4)^3]dx entre 0 y +oo

Hola, esa integral no es inmediata ni mucho menos. Supongo que conocerás el método de integración, no me perderé en detalles. Incluso si sabes alguno mejor que yo te agradecería me lo dijeses, siempre me cansa tener que resolver ecuaciones con mi método

x/(x+4)^3 =

a/(x+4) + b/(x+4)^2 + c/(x+4)^3 =

[a(x+4)^2 + b(x+4) + c] / (x+4)^3 =

[ax^2 + (8a+b)x + 16a+4b+c] / (x+4)^3

Luego

a=0

8a+b = 1 ==> b = 1

16a + 4b + c = 0 ==> 4 + c = 0 ==> c = -4

Sustituyendo los valores a,b y c calculados

$[x/(x+4)^3]dx = $[1/(x+4)^2]dx - 4$[1/(x+4)^3]dx =

-1/(x+4) + 2/(x+4)^2 =

(-x-4 +2)/(x+4)^2 =

-(x+2)/(x+4)^2

No olvidemos que hemos dejado un factor 32 delante de la integral

E(X) = $[32x / (x+4)^3]dx entre 0 y +oo =

-32(x+2)/(x+4)^2 entre 0 y +oo =

Cuando x-->+oo el denominador se hace infinito y la expresión tiende a 0

= 0 + 32(2/4^2) = 64/16 = 4 = E(X)

Estaban bien los cálculos que habías hecho, eso quiere decir que si mi hipotesis es correcta el valor residual esperado es 12,5 €. Aunque cada vez me parece más que no va a ser así

Vamos a calcularlo como se debe hacer.

Llamemos R a la v.a del valor residual

R = 100 / (4+X)

R toma valores entre 100/(4+0) = 25 y 100/(4+oo) = 0. Entre 25 y 0

4+X = 100/R

X = 100/R - 4

Calculamos los diferenciales necesarios para el cambio de variable

dX = (-100/R^2) dR

A un valor r del valor residual le corresponde una probabilidad dada por la función de densidad

g(r) = (-100/r^2) f(100/r - 4) =

(-100/r^2)·32/[(100/r - 4)+4]^3 =

-3200/[r^2(100/r)^3] =

-3200/[1000000r^2/r^3] =

-32/[10000/r] =

-32r/10000

Y el valor esperado de R es

E(R) = $ r[-32r / 10000]dr entre 25 y 0 =

(-32/10000)$r^2·dr entre 25 y 0 =

(-32/ 10000)(r^3)/3 entre 25 y 0 =

0 + 32·(25^3)/30000 =

32·15625/30000 =

500000 / 30000 = 50 / 3 = 16,66 €

Luego 16,66 € es el valor residual esperado.

El problema ya lo había comenzado antes de que mandaras el mensaje ultimo que lo he visto hace nada.

Pues en estadística son muy distintas la función de distribución y la función de densidad, no se puede andar usando el nombre de la una por la otra.

Y lo que dices de la tasa de interés no tiene nada que ver con este ejercicio, seguramente estás usando otro significado de la palabra residual. Aqui la palabra residual tiene el sentido de chatarra, del valor de la chatarra.

Y como preveía el valor residual esperado no es el valor residual de la media.

Oye, para mi que este ejercicio es muy complicado la verdad. Hay una parte donde uso los diferenciales que es así porque sé que es así, pero no te sabría explicar bien el porqué, es que es complicado de verdad. ¿Qué estás estudiando?

Y eso es todo.

Espera que me hice un lio muy grande, que es mucho más sencillo.

No puntúes ni cierres aún, espera que te mando la resolución más sencilla. No era necesario integrar respecto de r como hice yo, se podía hacer respecto de x.

Espera por tanto.

De lo hecho antes, nos quedamos unicamente con la parte del cálculo de k que es 32 y hace que la función de densidad de la variable aleatoria X sea:

f(x) = 32/(x+4)^3 si x>0

La parte donde se calculaba E(X) no servía más que para comprobar que la habías calculado bien, pero en realidad no es necesaria

La esperanza de una función de la variable aleatoria X es la integral de esa función por la función de densidad

E[100/(4+X)] = $[100/(4+x)]·[32/(x+4)^3]·dx entre 0 y +oo =

3200$[1/(x+4)^4]dx entre 0 y +oo =

3200(x+4)^(-3)·(-1/3) entre 0 y +oo =

-3200 / [3(x+4)^3] entre 0 y +oo =

En +oo el denominador se hace infinito y por tanto la expresión se hace cero

= 0 + 3200 / (3·4^3) =

3200 / (3·64) =

3200 / 192 =

16,666...

Redondeando a céntimos por ser euros.

Valor residual esperado = 16,67 €

Ahora ya lo veo como un problema normal e incluso fácil, era yo el que me lié.

E