Transformación lineal básica
Hola, acabo de presentar una prueba corta y no estoy seguro si me quedo bien el ejercicio, quisiera saber tu respuesta para saber si me quedo bien, de antemano gracias
Sea L: P1->P1 definida por
L(t+1)= t-1
L(t-1)=2t+1
a) determine la matriz de L con respecto a la base S= {t+1, t-1} para P1
B) Determine L(2t+3) empleándola definición de L y la matriz obtenida en a)
c) determine L(at+b)
Saludos
1 respuesta
a) Respecto a esa base las coordenadas de t+1 son (1, 0) y las de t-1 son (0, 1)
Ahora calculemos las de 2t+1, sean (a, b)
2t+1 = a(t+1)+b(t-1) = (a+b)t +(a-b)
luego
a+b = 2
a-b = 1
Y sumando queda
2a = 3
a= 3/2
b= 1/2
Luego las coordenadas de 2t+1 son (3/2, 1/2)
Luego
L(1, 0) = (0, 1)
L(0, 1) = (3/2, 1/2)
Y la matriz se construye colocando por columnas la imagen de la base luego es esta:
|0 3/2| | | |1 1/2|
b) Primero calculamos las coordenadas de 2t+3 en la base {t+1, t-1}
2t+3 = a(t+1)+b(t-1) =(a+b)t + (a-b)
a+b = 2
a-b = 3
luego
2a = 5
a = 5/2
b = -1/2
Y las coordenadas son (5/2, -1/2)
Multiplicamos la matriz por las coordenadas y nos da
|0 3/2| |5/2 | | -3/4 | |-3/4| | |x| |=| |=| |1 1/2| |-1/2| |5/2-1/4| | 9/4|
Y ahora que conocemos las coordenadas vamos a calcular la expresión polinómica de la imagen
L(2t+3) = -(3/4)(t+1)+(9/4)(t-1) = 6t/4-12/4 = 3t/2 - 3
c) Calculamos las coordenadas de at+b
at+b = (c+d)t + (c-d)
c+d = a
c-d = b
2c = a+b
c = (a+b)/2
d = a-c= a-(a+b)/2 = (2a-a-b)/2 = (a-b)/2
Luego las coordenadas son ( (a+b)/2 , (a-b)/ 2)
Y la imagen por la matriz es
( (3/2)(a-b)/2 , (a+b)/2+ (1/2)(a-b)/2 ) =
( (3/4)(a-b) , (a+b)/2+(a-b)/4) =
( (3/4)(a-b) , (2a+2b+a-b)/4) =
( 3(a-b)/4 , (3a+b)/4 )
Y ya solo falta aplicar a la base esas coordenadas par saber la imagen
L(at+b) = 3(a-b)(t+1)/4 +(3a+b)(t-1)/4 =
(3at+3a-3bt-3b +3at-3a +bt-b)/4 =
(6at-2bt-4b)/4
L(ab+t) = (3at-bt+2b)/2
Y eso es todo, creo que eso era lo que te pedían.
Gracias amigo, nuevamente me has ayudado y despertaste dos sentimiento en mi, uno de total gratitud hacías ti y otro de tristeza hacia mi porque ya vi cuál era mi duda y en que falle, gracias brother por esta labor tan buena que haces te felicito. Saludos
