Calcule el siguiente límite usando la definición de derivada en un punto
Limite cuando x tiende a 1 de [ (x^1000 - 1) / (x - 1) ]
1 Respuesta
La derivada tiene dos definiciones, una de ellas es esta:
$$\begin{align}&f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &\\ &\text{si tomamos }f(x) =x^{1000}\\ &\\ &f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{x^{1000}-1}{x-1}\end{align}$$Luego el límite de nos piden es la derivada de la función en el punto x=1
f'(x) = 1000x^999
f ' (1) 1000 · 1^999 = 1000
Luego el límite que nos piden es 1000
Y eso es todo.
Que aplico abajo l^Hospital? porque no se quitar esa indefinición (0/0) cuando sustituyo la pre imagen 1, y no nos permite usar Hopital.
No, este es un ejercicio especial, era la primera vez que lo veía. Con lo que he hecho ya queda calculado el límite, no hay que aplicar l'Hôpital.
Espera, que ahora que lo veo tengo una errata y a lo mejor te confundió eso.
En la parte escrita con el editor demuestro quien el limite que te piden es la derivada de
f(x) = x^1000
en el punto x=1, es decir:
lim x --->1 (x^1000 -1) /(x-1) = f '(1)
y la función f(x) = x^1000 sabemos derivarla
f ' (x) = 1000x^999
f ' (1) = 1000 · 1^999 = 1000 ·1 = 1000
luego igualando los valores tenemos
lim x --->1 (x^1000 -1) /(x-1) = 1000
Eso es todo lo que pide el ejercicio. Si te das cuenta aplicando l'Hôpital te da el mismo límite ya que arriba te quedará la derivada de x^1000 y abajo la de x que es 1.
Pero lo que tiene de particular este ejercicio es que se puede calcular sin usar la regla de l'Hôpital y por tanto con menos teoría. Este método solo puede sustituir a l'Hôpital cuando la función del denominador es de la forma kx+b
Y eso es todo.
