Multiplicadores de Lagrange, problema
buenos días, tardes o noches, de nuevo yo con un problema :c espero y me puedas ayudar
Un trozo de alambre de L unidades de longitud se corta en 3 partes. Una parte se dobla en forma de circunferencia; otra, en forma de cuadrado y la otra, en forma de triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que el área total de las 3 figuras combinadas sea: a) mínima b)máxima
1 Respuesta
Sea x la longitud del alambre de la circunferencia,
Y el alambre del cuadrado, y
Z el alambre del triángulo equilátero.
La ecuación de ligadura de las variables es
g(x,y,z) = x + y + z - L = 0
Ahora debemos calcular la función a maximizar o minimizar f(x, y, z) que es la suma de las tres áreas.
En la circunferencia el perímetro es x=2Pi·r
r = x/(2Pi)
y el área será
A = Pi·r² = pi·x² / (4Pi²) = x²/(4·Pi)
En el cuadrado tenemos y = 4b
b = y/4
A = b² = y²/16
Y el triángulo equilátero sera z = 3b
b = z/3
La base es b y la altura es b·sen60º
A = b·b·sen60º / 2 = b²·sqrt(3) / 4 = (z²/9)·sqrt(3)/4 = z²·sqrt(3) / 36
Supongo que sabrás que sqrt() es raíz cuadrada.
Entonces la función del área de los tres elementos es:
f(x,y,z) = x²/(4Pi) + y²/16 + z²·sqrt(3)/36
Y la función auxiliar donde llamo t al multiplicador de Lagrange es:
F(x,y,z,t) = x²/(4Pi) + y²/16 + z²·sqrt(3)/36 + t(x+y+z-L)
La derivaremos parcialmente respecto x, y, z e igualaremos las tres derivadas a 0. Con eso y la ecuación de ligadura deberemos hallar los puntos críticos
Fx(x,y,z,t) = x/(2Pi) + t = 0
Fy(x,y,z,t) = y/8 + t = 0
Fz(x,y,z,t) = z·sqrt(3)/18 + t = 0
x+y+z-L = 0
despejamos x,y,z en las tres primeras
x = -2·pi·t
y = - 8t
z = -18t/sqrt(3)
y con estos valores vamos a la cuarta
-t[2pi + 8 + 18/sqrt(3)] - L = 0
t = -L / [2pi + 8 + 18/sqrt(3)]
x = 2pi·L / [2pi + 8 + 18/sqrt(3)] = 0.2546326443L
y = 8L / [2pi + 8 + 18/sqrt(3)] = 0.3242083521L
z = [18/sqrt(3)] / [2pi + 8 + 18/sqrt(3)] = 0.4211590036L
Esto no puede ser un máximo como vamos a ver, luego es el mínimo.
El área conseguida con esos cortes es
f(x,y,z) = (0.2546326443L)²/(4Pi) + (0.3242083521L)²/16 + (0.4211590036L)²·sqrt(3)/36 =
(0.005159626875 + 0.00659440973 + 0.008533954159) L² =
0.02028799076L²
MIentras que si tomamos todo el alambre para la figura que mas área consigue y que vamos a ver cuál es:
La circunferencia divide x² entre 4Pi = 12.56637061
El cuadrado divide y² entre 16
El triángulo divide z² entre 36/sqrt(3) = 20.78460969
Luego la que mas área consigue es la circunferencia ya que divide el cuadrado del perímetro entre una cantidad menor
Entonces dándole todo el alambre a la circunferencia tendremos
A = L² / (4·pi) = 0.07957747155L²
Esta es la mayor área que se puede conseguir.
Y eso es todo.
