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Sean M y N esos subgrupos, M el de orden m y N el de orden n.
Al ser cíclicos cada uno está generado por un elemento
M = <a> = {a^j | j € Z}
N = <b> = {b^j | j € Z}
Todo nos invita a probar con el grupo P generado por a y b
P = <a,b> = {a^j·b^k | j,k € Z}
En realidad los elementos serían de los más intrincado del mundo, pero al ser un grupo abeliano siempre podremos llevar al izquierda las potencias de a y la derecha las de b y los elementos con a al operarse entre sí dan un a elevado a cierto exponente, lo mismo que los b.
Sea d el máximo común divisor de m y n y sean
p=m/d
q= n/d
p y q son primos entre sí.
Tomemos el conjunto H de estos elementos
H={a^(id)·b^(jd) | con i, j € Z}
Veamos que es un subgrupo de P
La operación es interna, toda operación sobre un elemento del grupo va a dar exponentes dentro del rango de los posibles o exponentes múltiplos de d
Evidentemente tiene el elemento neutro a^0·b^0=e·e=e
Y todo elemento tiene su inverso, dado a^(id)·b^(jd) tomaremos el elemento
a^(m-id)·b^(n-jd)
que pertenece al conjunto porque m=pd y n=qd y va a quedar
a^[(p-i)d]·b^[(q-j)d] € H
y al operarlos nos va a quedar
a^(id)·b^(jd)·a^(m-id)·b^(n-jd = a^m·b^n = e·e = e
Luego H es un subgrupo
Solo queda por demostrar el cardinal de H es el mínimo común múltiplo de n y m, pero ahora no tengo tiempo. Si quieres puedes probar a hacerlo tu. Si no espera unas horas a que pueda hacerlo yo. Es fácil.
Deja, no lo intentes porque no se puede. Me pase de grupo y no ese el que hace falta sino otro.
El grupo que hay que tomar es
H={a^i·b^(jd) | con i, j € Z} donde d es el máximo común divisor de m y n
La diferencia es que este es d veces más grande que el otro porque se toman todos los elementos a^i.
La operación es interna porque nos dará cualquier exponente para a y un exponente múltiplo de d para b.
Tiene el elemento neutro a^0·b^0 = e·e = e
Todo elemento tiene su inverso. Sea
a^i·b^(Jd)
Tomamos el elemento
a^(m-i)·b^(n-jd)
El exponente n-jd es múltiplo de d ya que es qd-jd
Y el producto es
a^i·b^(jd) · a^(m-i)·b^(n-jd) = a^m · a^n = e·e= e
Luego es un subgrupo.
Y ahora vamos a ver su cardinal
Supongamos existen i,j tales que a^i = b^(jd)
entonces el orden de <a^i> = orden <b^(jd)
Pero el orden de <a^i> es un divisor de m y el orden de b^(jd) es un divisor de n/d
Y ambos números son primos entre si ya que en n/d hemos quitado todos las factores primos comunes de m y n.
Luego el único orden común que podrían tener es 1 y serían el elemento neutro. Luego
a^i=b^(jd) <==>
a^i= b^(jd)=e <==>
i=mr y jd=ns con r,s € Z
Sean dos elementos iguales de este grupo H
a^i·b^(jd) = a^k·b^(ld)
Vamos a operar un poco
a^-k·a^i·b^(jd) = a^-k·a^k·b^(ld)
a^(i-k)·b^(jd) = b^(ld)
ahora abreviaré los pasos intermedios
a^(i-k) = b^[(l-j)d]
Por lo que habíamos demostrado antes se cumple
i-k = mr y (l-j)d = ns
Quitando los casos obvios donde i=k y l=j tenemos que para que se repita un elemento debe sumarse m al exponente de a y n al exponente de b
Luego si tomamos el conjunto
H = {a^i·b^(jd) | 0<=i <m, 0 <=j < n/d} todos los elementos son distintos. También se puede volver a comprobar que es un grupo si no se está seguro. Y al ser todos los elementos distintos el cardinal es
|H| = m·n/d
Pero ese cardinal es precisamente el mínimo común múltiplo de m y n
Ya que siempre se cumple
mn = mcm(m,n) · mcd(m,n)
al mcd(m,b) lo habíamos llamado d
mn = mcm(m,n) · d
mcm(m,n) = mn/d
Luego este último grupo H o el anterior (porque son el mismo aunque definidos ligeramente distinto) es el grupo que nos pide el enunciado.
Y eso es todo.
