Polinomios. Raíces Complejas

Nunca he visto un problema así, lo normal era calcular las raíces enteras, racionales o reales. Entonces se me ocurre qu el polinomio tenga raíces racionales y simplificándolo obtendremos las complejas. Veo un -x^5 en el centro donde correspondería el exponente 3, supondré que quieres decir -x^3

Pues siendo 1 el termino independiente y 1 el director solo puede haber dos raíces racionales que son {-1, 1} vamos a probarlas

P(-1) = -1-4+1+9+6+1 = 12

P(1) = 1-4-1+9-6+1 = 0

Luego 1 es raíz, vamos a factorizar mediante Ruffini

    1  -4  -1   9  -6   1
1       1  -3  -4   5  -1
    ---------------------
    1  -3  -4   5  -1  |0

P(x) = (x-1)(x^4 - 3x^3 -4x^2 + 5x - 1)

Y únicamente el 1 podría ser raíz racional otra vez, pero no lo es.

Aplicamos la regla de los signos de Descartes

El polinomio

Q(x) = x^4 - 3x^3 -4x^2 + 5x - 1

Tiene tres cambio de signos en los coeficientes, luego tiene 3 o 1 soluciones reales positivas.

Y el polinomio

Q(-x) = x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 5x -1

Tiene un cambio de signo, luego tiene 1 raíz real negativa.

Y en resumen el polinomio tiene 2 o 4 raíces reales, si tiene 2 habrá 2 complejas conjugadas y si tiene 4 no habrá raíces complejas.

Y aquí es donde yo sé que no hay raíces complejas porque las he calculado con el ordenador, o podría haber hecho la gráfica. Pero no sé cómo se averiguaría eso de acuerdo a lo que estás estudiando sin usar el ordenador. Puede que tengas alguna teoría que yo desconozca, si me dijeses el libro podría hacerlo de acuerdo con ella. O si no me dices tú como lo hacéis. El probar con valores para ver si el polinomio es positivo o negativo y de acuerdo con ello calcular el número de raíces reales no me parece una buena solución, aparte que puede no servir.

Pues eso, no tiene raíces complejas, pero me gustaría saber la teoría que habéis dado para poder demostrarlo con ella.