Subespacios vectoriales
Buenas, hay un problema e el que no se que tengo que hacer para resolverlo, el problema es el siguiente:
-Decir cual de los siguientes subconjuntos de R son subespacios vectoriales y calcular una base de los subespacios vectoriales.
a){(x,y,z)/2x-3y+5=0}
(Hay más pero con la explicación de este a modo de ejemplo me vale). Muchas gracias
-Decir cual de los siguientes subconjuntos de R son subespacios vectoriales y calcular una base de los subespacios vectoriales.
a){(x,y,z)/2x-3y+5=0}
(Hay más pero con la explicación de este a modo de ejemplo me vale). Muchas gracias
1 respuesta
Respuesta de lowpass
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Para averiguar si un subconjunto de R^3 es o no espacio vectorial, tienes que analizar una por una las condiciones que impone la definición de espacio vectorial. Deberás tener delante la definición. Si no la tienes apuntada, la encontrarás en:
http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/summer99/seck/node11.html
En este caso, la ecuación que te dan es de un plano que NO pasa por el origen (debido al término independiente +5). Por tanto no contiene al vector nulo, que sería el elemento neutro respecto de la suma. Si no hay tal elemento neutro, el conjunto dado NO es espacio vectorial. Con esto ya te basta, pero además verás que la operación de suma no es cerrada: toma dos vectores cualesquiera del plano, súmalos y verás que el resultado está fuera del plano (esto también es consecuencia del término independiente). Además para un elemento dado no existe opuesto respecto de la suma vectorial.
Podrás comprobar que en caso particular del problema que te ponen (subconjuntos de R^3, con las operaciones de suma vectorial y producto de un escalar por un vector), serán subespacios vectoriales los planos y rectas (completos) que pasen por el origen.
http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/summer99/seck/node11.html
En este caso, la ecuación que te dan es de un plano que NO pasa por el origen (debido al término independiente +5). Por tanto no contiene al vector nulo, que sería el elemento neutro respecto de la suma. Si no hay tal elemento neutro, el conjunto dado NO es espacio vectorial. Con esto ya te basta, pero además verás que la operación de suma no es cerrada: toma dos vectores cualesquiera del plano, súmalos y verás que el resultado está fuera del plano (esto también es consecuencia del término independiente). Además para un elemento dado no existe opuesto respecto de la suma vectorial.
Podrás comprobar que en caso particular del problema que te ponen (subconjuntos de R^3, con las operaciones de suma vectorial y producto de un escalar por un vector), serán subespacios vectoriales los planos y rectas (completos) que pasen por el origen.
