¿Es posible definir la operación de división de vectores?
¿Por qué si se ha considerado la suma, resta y multiplicación de vectores no se ha considerado la división?, ¿Es posible definir esta operación?
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
2
Decía un antiguo profesor que tuve: "Nunca te fíes de las preguntas cortas, a menudo son más complicadas de resolver que las de largo enunciado".
Esta es una pregunta aparentemente sencilla, pero que necesita varias explicaciones.
El concepto fundamental es entender la definición de operación y en que conjunto está definida.
Si nos fijamos en la suma de números reales, ésta es una operación interna definida
+:RxR-->
(x,y)-->z=x+y
que quiere decir que sumamos dos números reales (x,y) y nos da otro número real (z=x+y)
Esta operación cumple las propiedades
1º Asociativa: (a+b)+c=(a+b)+c
2º Conmutativa: a+b=b+a
3º Elemento neutro: Existe e tal que a+e=e+a=a
4º Elemento simétrico: Existe a' tal que a+a'=a'+a=e
Estas dos últimas propiedades son las que posteriormente nos van a permitir definir la resta:
i) El elemento neutro es el cero: a+0=a
ii) Al simétrico se le llama opuesto, y el opuesto de a es (-a): a+(-a)=0
Debido a estas propiedades, podemos definir la resta de dos números como la suma de uno más el opuesto del otro
a-b = a+(-b)
Pero si alguna de las propiedades no se cumpliese no tendría sentido la resta. Por ejemplo, si hubíesemos definido la suma en los números naturales
+:NxN--->N
No se cumpliría la existencia del opuesto, pues el opuesto de un natural no es natural, con lo que no se puede definir siempre una resta de naturales (sí de reales o enteros, pero 5-8 no es natural)
Definimos ahora el producto en los números reales
*:RxR--->
De igual forma se cumple:
1º Asociativa: (a*b)*c=(a*b)*c
2º Conmutativa: a*b=b*a
3º Elemento neutro: Existe e tal que a*e=e*a=a
4º Elemento simétrico: Existe a' tal que a*a'=a'*a=e ( salvo el cero)
Ahora tenemos
i) El elemento neutro es el uno: a*1=a
ii) Al simétrico se le llama inverso, y el opuesto de a es a^-1:
a*(a^-1)=(a^-1)*a=1
Debido a la existencia del inverso(salvo para el cero) y a la conmutatividad del producto, podemos definir la división de la forma
a/b=a*(b^-1)=(b^-1)*b
El hecho de que el producto sea conmutativo es ahora primordial para que el producto conlleve una definición de división.
Por ejemplo, si estamos hablando de matrices, la suma de matrices cumplen las mismas propiedades que los números, pero no así el producto, que a pesar de contar con un elemento neutro, así como de elemento inverso, no cumplen la propiedad conmutativa, por lo que
A*(B^-1) no es igual que (B^-1)*A
Con lo que si definiéramos A/B, no sabríamos a cual de las expresiones anteriores referirnos, y por eso no se define una división entre matrices, sólo por que el producto no es conmutativo.
Continúa...
Esta es una pregunta aparentemente sencilla, pero que necesita varias explicaciones.
El concepto fundamental es entender la definición de operación y en que conjunto está definida.
Si nos fijamos en la suma de números reales, ésta es una operación interna definida
+:RxR-->
(x,y)-->z=x+y
que quiere decir que sumamos dos números reales (x,y) y nos da otro número real (z=x+y)
Esta operación cumple las propiedades
1º Asociativa: (a+b)+c=(a+b)+c
2º Conmutativa: a+b=b+a
3º Elemento neutro: Existe e tal que a+e=e+a=a
4º Elemento simétrico: Existe a' tal que a+a'=a'+a=e
Estas dos últimas propiedades son las que posteriormente nos van a permitir definir la resta:
i) El elemento neutro es el cero: a+0=a
ii) Al simétrico se le llama opuesto, y el opuesto de a es (-a): a+(-a)=0
Debido a estas propiedades, podemos definir la resta de dos números como la suma de uno más el opuesto del otro
a-b = a+(-b)
Pero si alguna de las propiedades no se cumpliese no tendría sentido la resta. Por ejemplo, si hubíesemos definido la suma en los números naturales
+:NxN--->N
No se cumpliría la existencia del opuesto, pues el opuesto de un natural no es natural, con lo que no se puede definir siempre una resta de naturales (sí de reales o enteros, pero 5-8 no es natural)
Definimos ahora el producto en los números reales
*:RxR--->
De igual forma se cumple:
1º Asociativa: (a*b)*c=(a*b)*c
2º Conmutativa: a*b=b*a
3º Elemento neutro: Existe e tal que a*e=e*a=a
4º Elemento simétrico: Existe a' tal que a*a'=a'*a=e ( salvo el cero)
Ahora tenemos
i) El elemento neutro es el uno: a*1=a
ii) Al simétrico se le llama inverso, y el opuesto de a es a^-1:
a*(a^-1)=(a^-1)*a=1
Debido a la existencia del inverso(salvo para el cero) y a la conmutatividad del producto, podemos definir la división de la forma
a/b=a*(b^-1)=(b^-1)*b
El hecho de que el producto sea conmutativo es ahora primordial para que el producto conlleve una definición de división.
Por ejemplo, si estamos hablando de matrices, la suma de matrices cumplen las mismas propiedades que los números, pero no así el producto, que a pesar de contar con un elemento neutro, así como de elemento inverso, no cumplen la propiedad conmutativa, por lo que
A*(B^-1) no es igual que (B^-1)*A
Con lo que si definiéramos A/B, no sabríamos a cual de las expresiones anteriores referirnos, y por eso no se define una división entre matrices, sólo por que el producto no es conmutativo.
Continúa...
Veamos que pasa ahora con los vectores.
La suma es una operación interna ( vector más vector es otro vector) que cumple las mismas propiedades que la suma de números, con lo cual no hay ningún problema para definir una resta.
Pero con el producto no pasa lo mismo. Por de pronto definimos dos tipos de productos de vectores del espacio vectorial V
1º Producto escalar
.: VxV--->R
Es decir, no es una operación interna ( vector por vector es un escalar o número). Debido a ésto ya no se cumplirían muchas de las propiedades del producto: ni asociativa, ni elemento neutro, aunque sí la conmutativa. Pero debido a la ausencia del neutro, no podemos definir un inverso, con lo cual no podemos definir la división
2º Producto vectorial
x: VxV---->V
Ahora la operación sí es interna, pero dejan de cumplirse muchas propiedades, y de nuevo eso nos imposibilita definir un inverso y una división.
De todas formas sí se define otro producto
*:RxV-->V
Que es la multiplicación de un número por un vector y esto nos produce un vector. Aunque tampoco es una operación interna, si se puede definir un neutro para el número ( el 1: 1*v=v), y un inverso, con lo cual sí se puede definir una división entre un vector y un número, que será lo mismo que multiplicar el vector por el inverso del número
v/5=v*(5^-1)=(5^-1)*v
Conceptualmente lo que ocurre es que estamos demasiado habituados a entender las operaciones con números, de forma que para nosotros sumar es juntar, restar quitar, multiplicar sumar repetidamente y dividir repartir, pero esos conceptos sólo son válidos si operamos con números, pero tienen otro sentido completamente diferente a si operamos con otros elementos.
La suma es una operación interna ( vector más vector es otro vector) que cumple las mismas propiedades que la suma de números, con lo cual no hay ningún problema para definir una resta.
Pero con el producto no pasa lo mismo. Por de pronto definimos dos tipos de productos de vectores del espacio vectorial V
1º Producto escalar
.: VxV--->R
Es decir, no es una operación interna ( vector por vector es un escalar o número). Debido a ésto ya no se cumplirían muchas de las propiedades del producto: ni asociativa, ni elemento neutro, aunque sí la conmutativa. Pero debido a la ausencia del neutro, no podemos definir un inverso, con lo cual no podemos definir la división
2º Producto vectorial
x: VxV---->V
Ahora la operación sí es interna, pero dejan de cumplirse muchas propiedades, y de nuevo eso nos imposibilita definir un inverso y una división.
De todas formas sí se define otro producto
*:RxV-->V
Que es la multiplicación de un número por un vector y esto nos produce un vector. Aunque tampoco es una operación interna, si se puede definir un neutro para el número ( el 1: 1*v=v), y un inverso, con lo cual sí se puede definir una división entre un vector y un número, que será lo mismo que multiplicar el vector por el inverso del número
v/5=v*(5^-1)=(5^-1)*v
Conceptualmente lo que ocurre es que estamos demasiado habituados a entender las operaciones con números, de forma que para nosotros sumar es juntar, restar quitar, multiplicar sumar repetidamente y dividir repartir, pero esos conceptos sólo son válidos si operamos con números, pero tienen otro sentido completamente diferente a si operamos con otros elementos.
