Gráfica de función calculo
graficar función que sean derivables a partir de ubicar unos cuantos puntos
significativos. F(x)=x^4-4x^2+4
1 Respuesta
Creo que estos son los puntos que mas importan
Determina el dominio de la función.
Encuentra las intersecciones de la gráfica de la función con los ejes coordenados
Determina la simetría con respecto al eje vertical y con respecto al origen de
coordenadas.
Determina las asíntotas horizontales y verticales de la función.
Calcula la primera y segunda derivada.
Encuentra los puntos críticos.
Clasifica los puntos críticos.
Determina los intervalos donde crece y decrece la función observando el signo de su derivada.
Determina los puntos de inflexión.
Verifica la concavidad de la función
Es un polinomio, por lo tanto es una función continua definida en todo R y sin asíntotas.
Es una ecuación bicuadrada, pero se ve fácilmente que es un cuadrado perfecto
f(x)=(x^2-2)^2
Es una función par ya que
f(-x) = [(-x)^2-2]^2 = (x^2-2)^2 = f(x)
Luego es simétrica respecto al eje Y
Para calcular los cortes con el eje X
(x^2-2)^2=0
x^2-2 = 0
x^2=2
x = -sqrt(2) y sqrt(2)
Además como son dobles serán tangentes al eje X, pero eso no se si te lo habrán enseñado.
Y con el eje Y el corte es (0,4)
Y vamos ya a derivarla
f '(x) = 4x^3 - 8x = 0
x(4x^2-8) = 0
x=0
4x^2 = 8
x^2 = 2
los ceros son -sqrt(2), 0, sqrt(2)
en (-oo, -sqrt(2)) es negativa ya que el límite en -oo es -oo luego la función decrece
en (-sqrt(2), 0) es positiva se puede probar con x=-1, f '(-1)=-4+8=4 luego f crece
en (0, sqrt(2) es negativa probamos con x= 1; f '(1) =4-8=-4 luego f decrece
en (sqrt(2), +oo) es positiva porque el limite en +oo es +oo, luego f crece
La derivada segunda es
f ''(x) = 12x^2-8
f "(-sqrt(2)) = 24 - 8 = 16, es positiva luego en x=-sqrt(2) hay un mínimo
Y el valor de la función ahí es f[-sqrt(2)] = 4 - 8 + 4 = 0
(-Sqrt(2), 0) es un mínimo
Por simetría
(Sqrt(2), 0) es un mínimo
f ''(0) = -8 negativo luego hay un máximo
El máximo es (0, 4)
Y los ceros de la derivada segunda son
12x^2-8 = 0
x^2 = 8/12 = 2/3
x= +- sqrt(2/3)
En (-oo, -sqrt(2/3)) es positiva ya que el límite en -oo es+oo luego es cóncava hacia arriba
en (-sqrt(2/3), sqrt(2/3)) se prueba con el 0 y es negativa luego es cóncava hacia abajo
en (sqrt(2/3), +oo) es positiva porque en +oo tiende a +oo
Y eso es todo.
