Ecuación diferencial de orden y grado 2

No sé si habrás escrito bien la ecuación, lo que me sale a mí es

(y')^2 = yy

Eso se descompone en dos ecuaciones

y' = y

y' = -y

Y las soluciones son:

y=Ae^x

y=Ae^(-x)

Que no coinciden con ninguna de las que tienes, nada más que pongas una B en el exponente y sea distinta de 1 deja de cumplirse la ecuación. Por eso pienso que a lo mejor la ecuación no es esa que me ha llegado.

Lo siento Valeroasm, la ecuación no estaba bien.

Estaba intentando modificarlo por activa y por pasiva, preguntando en el foro como poder modificar una pregunta ya lanzada a un experto o al tablón, pero nadie me ha sabido contestar.

En la fórmula de la ecuación diferencial, la última y es y''(y prima prima, por si tampoco sale ahora).

Disculpa las molestias y gracias!

Entonces dices que es:

(y')^2 = y·y''

Yo tampoco sé cómo modificar una pregunta hecha. Creo que lo que si puedes hacer es descartarla y formularla de nuevo, pero ahora no podrías porque estoy no disponible momentáneamente debido a que tengo preguntas pendientes "difíciles".

Confírmame si es la ecuación que he escrito, y si no, escríbela de forma parecida a como lo he hecho.

Si, es exactamente la que pones.

Espero te desatasques pronto y podamos seguir explotando tus conocimientos que nos son muy valiosos en épocas de exámenes.

Un saludo y Muchas Gracias!

Las ecuaciones diferenciales son todo un mundo. Me puedes decir si te dicen qué tipo de ecuación diferencial es o en el capítulo de cuáles se encuentra. Eso tiene un valor del 50% o más a la hora de encontrar la solución.

¿Y en caso de no saber resolver la ecuación te serviría con que eligiera la respuesta de entre las que nos dan?

Quizás sea una pista o quizás no, pero el ejercicio empieza con la palabra "Integrar". Yo lo entendí como una ecuación diferencial. Probé Cauchi, Riccati...pero nada fiables.

Con la solución ma valdría si existe alguna explicación algo coherente.

Pero muchísimas gracias por tu curro.

Voy a retomar esta pregunta.

En la pregunta que te he respondido de la ecuación (y'')^2 = y escribí la teoría de como resolver estas ecuaciones. No la voy a volver a escribir por lo pesado que es y tampoco puedo pegarla porque las ecuaciones escritas con el editor no se pueden copiar una vez ya mandadas.

$$\begin{align}&\text {El método para resolver las ecuaciones de la forma:}\\ &\\ &\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=f \left( y,\frac{dy}{dx} \right )\\ &\\ &\\ &\text {Es haciendo}\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=p \\ &\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p\\ &\\ &\\ &\text {Haciendo los cambios necesarios tendremos}\\ &\\ &\frac{dp}{dy}=f(y,p)\\ &\\ &\text {Integrando tendremos } p = p(y,C_1)\\ &\\ &\text {Volviendo a la ecuación que pusimos al principio es:}\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=p(y,C_1)\\ &\\ &\frac{dy}{p(y,C1}= dx\\ &\\ &\\ &\text {que es de variables separadas e integrando obtendremos:}\\ &\\ &\phi(x,y,C_1,C_2)=0\end{align}$$

Ah, pues si se puede, pero me harté de borrar caracteres de sobra para que funcionara.

$$\begin{align}&\text {La ecuación es:}\\ &\\ &\left (\frac{dy}{dx} \right )^2= y \frac{d^2y}{dx^2}\\ &\\ &\\ &\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{\left (\frac{dy}{dx} \right )^2}{y}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\text {Hacemos dy/dx = p}\\ &\\ &p \frac{dp}{dy}= \frac{p^2}{y}\\ &\\ &\\ &\frac {dp}{p} = \frac{dy}{y}\\ &\\ &\\ &\\ &\text{usaremos el truco de pòner la constante como ln(C)}\\ &\\ &\\ &ln \; p= ln \; y +ln \;C_1 = ln \; C_1y\\ &\\ &\\ &p=C_1y\\ &\\ &\\ &\text {Recordamos que p=dy/dx}\\ &\\ &\\ &\frac{dy}{dx}= C_1y\\ &\\ &\frac{dy}{y}= C_1dx\\ &\\ &\\ &\text {Integrando en mabos lados}\\ &\\ &ln \; y=C_1x+ln \; C_2\\ &\\ &\text {elevando e a los dos miembros}\\ &\\ &y= e^{C_1x+ln\; C_2} = C_2e^{C_1x}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Basta con llamar A=C2 y B=C1 para ver que la solución es la opción A.

Y eso es todo.