Divisores de un numero

El problema es sencillo si se conoce la fórmula del números de divisores de un número.

Para ello debemos descomponer el número en factores primos y hacer el producto de todos los exponentes cada uno incrementado en una unidad.

$$\begin{align}&n=p_1^{e_1}· p_2^{e_2}···p_k^{e_k}\\ &\\ &Divisores=(e_1+1)(e_2+1)···(e_k+1)\end{align}$$

El número n que debemos calcular solo tiene factores primos 2 y 3, llamemos x al exponente del 2 e y al exponente del 3

El número de divisores será

Divisores(n) = (x+1)(y+1)

$$n^2=(2^x3^y)^2 = 2^{2x}3^{2y}$$

Divisores(n^2) = (2x+1)(2y+1)

Como los de n son la tercera parte

3(x+1)(y+1)=(2x+1)(2y+1)

3xy+3x+3y+3 = 4xy+2x+2y+1

xy - x - y - 2 = 0

El siguiente paso puede parecer difícil pero no es tanto, basta con comprobarlo.

(x-1)(y-1) - 3 = 0

(x-1)(y-1) = 3

Una solución es

x-1=1; y-1=3 ==> x=2; y=4

n=2^2·3^4= 4·81 = 324

Y la otra

x-1=3; y-1=1 ==> x=4; y=2

n=2^4·3^2=16·9=144

Luego los dos números posibles son 144 y 324.

La comprobación divisor a divisor no vamos a hacerla, pero si a través de la fórmula. Al tener exponentes 2 y 4 dará 3·5 = 15 divisores, en tanto que los cuadrados tendrán exponentes 4 y 8 que darán 5·9 = 45 divisores, el triple que nos decían.

Y eso es todo.