¿Explicación de la función de verosimilitud?
Determinar la funcion de verosimilitud para muestras aleatorias simples de tamaño n de la distribución normal de parametros mu y sigma cuadrado:
En el libro pone que es el producto de n veces la función normal de densidad, pero yo creía que esto solo se podía hacer en el caso de que estuvieramos hablando de probabilidades, pero aquí al estar hablando de una muestra, puede ser el peso de la muestra, en tal caso f(x1) que sería el peso de la muestra 1 o la función de densidad?
1 respuesta
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_verosimilitud
El libro que yo tengo no se encuentra en internet :/
Ya había mirado ese artículo antes, pero la Wikipedia tiene algunos artículos demasiado técnicos y concisos, esperaba algo mejor.
La Wikipedia abunda en lo que dices, la función de verosimilitud de una variable continua es el multiplicatorio de la función de densidad en los n puntos de la muestra. Luego la función de verosimilitud será:
$$\begin{align}&L(\theta)=\prod_{i}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac 12\left(\frac{x_i-\mu}{\sigma} \right)^2}\\ &\\ &\text {por si no se ve bien el exponente lo ponemos así}\\ &\\ &L(\theta)=\prod_{i}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}exp \left({-\frac 12\left(\frac{x_i-\mu}{\sigma} \right)^2}\right)\end{align}$$Donde en lugar de theta irá mu o sigma, según cual sea el parámetro que queremos calcular con máxima verosimilitud.
Tiene su lógica, tal como esta definida la función de verosimilitud nos dice la probabilidad de que se hayan dado los n valores que han salido en la muestra, y de acuerdo con ella se puede calcular el valor del parámetro que desconocemos hallando el máximo de la función respecto de theta.
Y eso es todo.
-¿Qué diferencia hay entre calcular la función de verosimilitud para la media poblacional y calcularlo para la varianza poblacional?
-Cuando te dicen que te dan una muestra, en una población que sigue una distribución normal, quieren decir que a cada valor de la muestra le corresponde una probabilidad dada por esa distribución normal?
Perdona por preguntarte cosas tan estúpidas, pero quiero asegurarme xD
La diferencia está en la variable de la función, en el ejemplo que nos han puesto la función de verosimilitud para la media sería
$$L(\mu)=\prod_{i}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}exp \left({-\frac 12\left(\frac{x_i-\mu}{\sigma} \right)^2}\right)$$Y para la varianza vamos a buscar un nombre de variable que no sea sigma^2 porque eso conduce a confusión asi que pongamos V en vez de sigma^2
$$L(V)=\prod_{i}\frac{1}{ \sqrt{2\pi V}}exp \left({-\frac 12\frac{(x_i-\mu)^2}{V}}\right)$$Y para calcular la mu de máxima verosimilitud se deriva respecto a mu la primera función y para calcula la V de máxima verosimilitud se deriva en la segunda respecto a V.
Si, quiere decir eso, que los valores obtenidos tienen la probabilidad de una distribución normal de los parámetros que te den. Entonces se supone que puede salir alguno pero no muchos valores improbables para esa distribución normal.
Por ejemplo que todos o casi todos estarán entre -3 veces la desviación y +3 veces la desviación respecto de la media, que el 95.44% este entre - 2 veces la desviación y +2 veces la desviación, que entre menos 1 desviación y màs una esté el 68.26% e los datos, etc.
Y eso es todo.
