Una población consta de los siguientes números 2, 5, 7, 9. Considere todas las muestras posibles de

Las muestras posibles de tamaño 2 sin tener en cuenta el orden (ya que parece que no se usa) son las combinaciones de 4 elementos tomadas de 2 en 2, y son estas

2, 5

2, 7

2, 9

5, 7

5, 9

7, 9

a) La media poblacional es la media de los 4 elementos

media = (2+5+7+9) / 4 = 23/4 = 5.75

b) La desviación estándar se calcula calculando primero la varianza. La varianza tiene una definición pero se calcula más fácilmente de esta otra forma

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 =

(2^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2)/4 - 5.75^2 =

(4+25+49+81)/4 - 33.0625 =

159/4 - 33.0625 =

39.75 - 33.0625 =

6.6875

Y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza

desviación = sqrt(6.6875) = 2.586020108

c) Las medias de las muestras son:

2, 5 ==> (2+5)/2 = 3.5
2, 7 ==> (2+7)/2 = 4.5

2, 9 ==> (2+9)/2 = 5.5

5, 7 ==> (5+7)/2 = 6
5, 9 ==> (5+9)/2 = 7
7, 9 ==> (7+9)/2 = 8

Y la media de la distribución muestral de medias es

(3.5+4.5+5.5+6+7+8) / 6 = 34.5/6 = 5.75

no cabía esperar otra resultado que este, el mismo que la media poblacional

d) Y la desviación estándar de la distribución muestral de medias se calcula como hicimos en el apartado b, mediante la fórmula

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Que expresado de palabra sería, la suma de los cuadrados dividida entre n y a eso se le resta el cuadrado de la media.

V(X) = (3.5^2 + 4.5^2 + 5.5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2) / 6 - 5.75^2 =

(12.25+20.25+30.25+36+49+64) / 6 - 33.0625 =

211.75 / 6 - 33.0625 =

35.291666... - 33.0625 =

2.22916666...

Y la desviación estándar de la distribución muestral de medias es la raíz cuadrada de esto

sqrt(2.22916666...) = 1.493039406

Como ves es menor que la desviación poblacional. La desviación se atenúa cuando se toma de la media de muestras y cuanto mayor es el tamaño de las muestras más se atenúa.

Perdona por la tardanza, he tenido y sigo teniendo días en que hacer muchas cosas.