Proyección ortogonal de r sobre Pi
Sean la recta
x = - 1 -t
r: y = - t y el plano pi= 2x - y + z - 1 = 0.
z = 2 t
Halle las ecuaciones paramétricas de la recta s, proyección ortogonal de r sobre pi.
1 Respuesta
La recta proyección quedará determinada por la proyección de dos puntos cualesquiera de la recta. O por la intersección de la recta con el plano y la proyección de un punto.
La intersección se calcula sustituyendo el punto en la ecuación del plano.
2(-1-t)-(-t)+2t-1=0
-2-2t +t+2t-1=0
t=3
la intersección es (-1-3, -3, 2·3) = (-4, -3, 6)
Ahora tomamos un punto de la recta, por ejemplo con t=0
el punto será (-1,0,0)
La recta perpendicular al plano que pase por este punto tiene como vector director el del plano, luego el vector(2, -1, 1)
La ecuación de esa recta perpendicular sera
p: (-1, 0, 0) + t (2,-1,1) = (-1+2t, -t, t)
Y hallamos su intersección con el plano
2(-2+2t) - (-t) + t - 1=0
-4 + 4t + t + t -1 = 0
6t=5
t=5/6
la intersección es
(-1+10/6, -5/6, 5/6) =(4/6, -5/6, 5/6)
Luego ya tenemos los dos puntos que determinan la recta
(-4, -3, 6) y (4/6, -5/6, 5/6)
El vector entre ellos es
(4/6+4, -5/6+3, 5/6-6) = (28/6, 13/6, -31/6)
Tomaremos uno paralelo más sencillo (28, 13, -31)
Y la recta en coordenadas paramétricas será
x = -4 + 28t
y = -3 + 13t
z = 6 - 31t
Y eso es todo.
