Calcular el valor del Límite

Como puedes ver, no aparece la expresión de la que tengo que calcular el límite. Creo que esta pregunta la mandaste hace unos días y estuve intentando demostrarla pero no pude, creo que el límite era algo asi como

$$\lim_{n \to \infty} \left (  1+\frac{n}{n+1}+...+\frac{n}{n+n+1}\right )$$

Ya me corregirás si no estoy en lo cierto.

Si todos los sumandos fueran como el último si que tendería a 1/2, pero los anteriores son mayores, comienzan teniendo límite 1 y acaban teniendo limite 1/2, la suma es una cantidad intermedia que muy bien pudiera ser la solución A) ln 2. Lo que pasa es que en ese momento tenía mucho trabajo y no encontré en internet la fórmula de la suma de los primeros números inversos.

Si me confirmas el enunciado del problema intentaré hacer algo.

el último sumando tiene como denominador n+(n-1).

Yo lo intente por Stolz pero me sigue dando 1/2.

Espero que así te llegue bien y que te vayas desliando pronto.

Un saludo y gracias!!!

Espera, no puede ser eso, ese límite es infinito. Creo que era este

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{n}{n+1}+...+\frac{n}{n+n+1}}{n}$$

pero mejor confírmame que lo es.

Lo aclaré arriba...hubo conflicto a la hora de enviar...

Si, era ese segundo, si no ponemos el n debajo del todo, el límite sería infinito. El que termine en n+n-1 o n+n+1 no influye, cada sumando conveniente dividido por n tiene límite cero, entre todos valdrán algo porque son infinitos.

$$\lim_{n \to \infty} \; \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}$$

Como te decía, he intentado encontrar una fórmula que diga cuál es la suma de los primeros n números recíprocos, pero no debe existir, no será fácil.

Lo que sí he encontrado es esto:

http://es.wikipedia.org/wiki/Número_armónico

Ahi se llama número armónico

$$H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$$

Y luego dice que esa suma se puede calcular aproximadamente por

$$H_n \approx \int_1^n \frac{1}{x}dx = ln x|_1^n = ln \; n$$

Luego aún da una aproximación mayor diciendo

$$H_n= \gamma + ln \; n+ \frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}+O(n^{-6})$$

En realidad con la de arriba nos sobraría para lo que vamos a hacer.

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty} \; \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}= \lim_{n \to \infty} H_{2n-1}- H_{n-1}=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\gamma-\gamma+ ln(2n-1)-ln(n-1)+\frac{1}{2(2n-1)}- \frac{1}{2(n-1)}+...\end{align}$$

Y como decía no pongo más porque todo lo que va detrás de los ln es un infinitésimo de orden superior y tiende a cero con mayor velocidad. Si no te fías puedes comprobarlo haciendo las cuentas con todos los términos.

En resumen queda:

$$\begin{align}&= \lim_{n \to \infty} ln(2n-1)-ln(n-1)=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty} ln \left ( \frac{2n-1}{n-1} \right )=\\ &\\ &\\ &ln \left (  lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n-1} \right )=ln \; 2\end{align}$$

Y eso es todo.