Halla el área limitada por la gráfica de..

La definición de integral definida es el área de una función entre dos rectas x=a, x=b y el eje de abscisas, luego en principio el área sería la integral de esa función entre -1 y 1. Pero puede suceder que la función tenga signo distinto entre -1 y -1. Y cuando la función es negativa la integral definida resta el área y no es eso lo que queremos, luego vamos a ver cuales son las raíces.

Para empezar x= 0 es una, luego queda

x^2-x+1 = 0

Cuyas raíces son

x= [1 +- sqrt(1-4)] / 2

Como la raíz cuadrada tiene argumento negativo no hay otras respuesta reales.

Asi que hay un único cambio de signo en x=0. Siendo un polinomio de grado 3 eso significa que antes de cero es negativo y después positivo, si no lo ves claro puedes comprobarlo dando los valores -1 y 1 al polinomio.

Entonces vamos a dividir la integral en dos trozos, la parte izquierda nos dará signo negativo que transformaremos en positivo y la derecha nos dará positivo. La suma de estas dos cantidades positivas es el área que nos piden.

La integral es

(x^4)/4 - (x^3)/3 + x^2/2

Y la integral entre -1 y 0 es

0 - 1/4 +1/3 - 1/2 = (-3+4-6)/12=-5/12

Como ya decía sumaremos 5/12

Y la integral entre 0 y 1 es

1/4-1/3+1/2 = (3-4+6)/12 = 5/12

Luego el área es 5/12 + 5/12 = 10/12 = 5/6

Y eso es todo.