Estadística, desviación estándar poblacional
a) Un estudiante realiza un estudio y da un intervalo de confianza del 95% que va de 46 a 54. El esta seguro de que la media muestral era 50, la desviación estándar poblacional era de 16 y el tamaño de la muestra era mayor que 30, pero no se acuerda exactamente de su valor. ¿Podrías ayudarle?
b) Suponga que se desea estimar la edad promedio de todos los desocupados en un país. Se desea que la diferencia entre la verdadera media y la media muestral no sea mayor de 2, y que la probabilidad de que la media muestral se desvíe de la verdadera media en más de 2 y no pase de 1/16. Se sabe que la varianza de la población de las edades de los desocupados es de 36 años. Encuentra el tamaño de la muestra que se necesita para que cumplan estas condiciones.
1 Respuesta
a) Los extremos del intervalo de confianza equidistan de la media muestral, luego la media muestral es (46+54)/2 = 50 como el pensaba.
Ahora, el radio, que es 4 se obtiene como una serie de operaciones de la desviación estándar poblacional, la raíz de n y una constante que depende del la confianza que se desea
$$\begin{align}&r= \frac{\sigma}{\sqrt n}·z_{\alpha/2}\\ &\\ &4=\frac{16}{\sqrt n}·z_{0.025}\\ &\\ &z_{0.025} \text{ es el valor que da 0.975 en la tabla, es 1.96}\\ &\\ &\sqrt n =\frac{16·1.96}{4}= 7.84\\ &\\ &n=7.84^2 = 61.4656\\ &\\ &\text{Debe tomarse el entero superior para asegurarse}\\ &\\ &n=62\end{align}$$b) Es similar al problema anterior, el radio será 2 y el intervalo de confianza será
1 - 1/16 = 0.9375
Vamos a calcular ya la constante que le corresponde
Queda fuera del intervalo 1-0.9375 = 0.0625
Por cada lado queda la mitad 0.0625/2 = 0.03125
Por la derecha debemos hallar el valor que da 1-0.03125= 0.96875 en una tabla N(0,1)
tabla(1.86)=0.9686
tabla(1.87)=0.9693
pendiente de la recta = 0.0007 / 0.01 = 0.07
(incremento y) / (incremento x) = pendiente
(0.96875-0.9686) / (incremento x) = 0.07
incremento x = 0.00015 / 0.07 = 0.002143
Valor de x = 1.86+0.002143 = 1.862143
Por otra parte la desviación estándar será la raíz cuadrada de la varianza, luego 6
Y la fórmula usada arriba nos dirá
2 = 6 · 1.862143 / sqrt(n)
sqrt(n) = 6 · 1.862143 / 2 =5.586429
n = (5.586429)^2 = 31.208189
Se toma un entero mayor.
La muestra debe ser de 32 personas.
Y eso es todo.
