Otro problema de calculo diferencial
Valeroasm tengo un problema de calculo de derivadas, te lo quiero comentar porque no se cual es la respuesta y aunque yo lo resolví, quisiera que tu también lo hicieras y me comentaras tu respuesta haber si coincide con la mia. El problema dice asi:
Un puente de ferrocarril pasa 6 metros arriba de un rio y es perpendicular al mismo. Un hombre en un tren que viaja a 100 km/hora pasa sobre el centro del puente en el mismo instante en que un hombre en un bote de motor pasa bajo el centro del puente a 30 km/hora ¿con qué rapidez se están separando los dos hombres 10 segundos después?
Quiero tener la satisfacción de saber que pude resolver el problema por mi propia cuenta y que lo hice bien y para eso necesito corroborarlo contigo.
1 Respuesta
Lo primero vamos a solucionar el caos de medidas que hay, metros, kilómetros, horas y segundos. Lo cambiamos todo a metros, segundos y metros por segundo.
Velocidad del tren = 100 km/h = 100000m/h = 100000m/3600s = (25/9) m/s
Velocidad del bote = 30 km/h = 30000m/h = 30000m/3600s = (5/6) m/s
¡Ay, no me has dicho, si van en el mismo sentido o sentido contrario! Supongo que querías decir sentido contrario. Lo resuelvo así, si no es así me lo dices.
Llamando (0,0) al punto donde estaba el bote cuando se juntan, el bote va hacia la derecha y el tren hacia la izquierda. La función vectorial del espacio en función del tiempo será
Bote(t) = (5t/6, 0)
Tren(t) = (-25t/9, 6)
La función distancia (o espacio) entre ellos es:
d(t) = sqrt([5t/6 -(-25t/9)]^2 + 6^2) = sqrt([5t/6+25t/9]^2+36) =
sqrt([(15t+50t)/18]^2 +36) = sqrt([65t/18]^2 + 36)
Y por física sabrás que la velocidad es la derivada del espacio con respecto al tiempo.
v(t) = d'(t) = (1/2)[(65/18)^2]·2t / sqrt([65t/18]^2 + 36) =
t(65/18)^2/sqrt([65t/18]^2+36)
Y ya solo nos falta evaluar la velocidad de separación en el punto t =10
v(10) = 10(65/18)^2/sqrt((650/18)^2+36)
Vamos a dejarnos ya de simplificaciones que tanto gustan a los matemáticos y vamos a calcularlo
10(3,6111...)^2 / sqrt[(36,111...)^2 +36] = 130,04012346 / sqrt(1304.012346 +36) =
= 130,04012346 /sqrt(1340,012346) = 130,04012346 / 36,60617906 =
3,552409096 m/s
Es interesante observar el efecto que tiene que estén a la misma altura. Si los dos fueran a la misma altura, la velocidad de separación sería constante e igual a 65/18 = 3,6111... m/s.
Ese 3,6111 será la velocidad cuando el tiempo tienda a infinito.
Y eso es todo.
pues nunca me dio ese resultado carajo!
primero no entiendo por que o para que hay que saber si el bote va hacia la derecha y el tren hacia la izquierda ni tampoco lo de la ecuación vectorial del bote y del tren tampoco para que utilizas el punto (0,0) . es que he visto que estos problemas se resuelven sin necesidad de recurrir a coordenadas ni vectores ademas y ono manejo esos temas aun, no hay po ahi un método ( con un dibujito si se pudiera ) para interpretar mejor el problema y resolverlo fácilmente???
muchas gracias
Tienes que saber cuál es la distancia entre los dos hombres en función del tiempo para poder calcular la velocidad con que separan. Si quieres que el tren vaya hacia la derecha y el bote hacia la izquierda me da lo mismo, la distancia medida de un sitio a otro es la misma que medida al contrario. El punto (0,0) ¿Dónde crees que es mejor sitio para ponerlo que donde lo he puesto? Ahí esta perfecto en el instante 0 y con separación 0 entre las personas. Si quieres ponerlo en otro lado no pasa nada, pero menudo lio vas a armar.
Y si no usas coordenadas probablemente te pase lo que te está pasando, que no te sale bien. Este es un problema ligeramente más complicado que el de los trenes que salen de tal sitio a tal velocidad y te preguntan donde se juntan. Ese es un problema que se resuelve en un linea recta y este es en el plano, por eso hay que usar coordenadas.
Y de verdad te digo que no hay forma más sencilla de resolverlo que como lo he hecho. Tampoco te asustes por lo de función vectorial si todavía no lo has dado. Yo no soy adivino y no sé que habéis estudiado cada uno que me consulta. No lo llames función vectorial, llámalo la posición en el eje X y la posición en el eje Y y ya está solucionado.
Por lo que veo a lo mejor el problema es complicado para el nivel de estudios que cursas, pero más fácil no lo vas a tener a no ser que te acuda un profesor particular y esté 1 hora explicándote el problema. Yo intentaría entenderlo porque no hay otra forma.
