Integral de funciones trigonométricas hiperbólicas

Como en todas las integrales racionales no inmediatas debemos factorizar el denominador y dependiendo cómo sea esta usar el método adecuado para descomponerla en suma de integrales más sencillas. Para ayudar en la factorización cambiaremos de signo el denominador y haremos 1 el coeficiente de grado 2.

$dx/(1-4x-2x^2) = -(1/2)$dx/(x^2+2x-1/2)

Hallemos las raíces:

x = [-2 +- sqrt(4+2)] / 2 = -1 +- sqrt(6)/2

Desde luego que son feas, pero tienen derecho a vivir. Si acaso las llamamos r y s

r = -1 - sqrt(6)/2

s = -1 + sqrt(6)/2

$dx/(x^2+2x-1/2) = $dx/[(x-r)(x-s)]

El método de integración para raíces reales distintas dice que ese cociente puede expresarse como suma de dos fracciones

1 / [(x-r)(x-s)] = a/(x-r) + b/(x-s) = [a(x-s)+b(x-r)] / [(x-r)(x-s)]

Esto último es por el algoritmo de suma de fracciones poniendo factor común.

Como el primer y tercer término tienen igual denominador también tienen igual numerador

1 = [a(x-s)+b(x-r)] = (a+b)x -as-br

Esta igualdad exige que el coeficiente de x sea 0 y el independiente 1, dando lugar a dos ecuaciones que nos ayudaran a calcular a y b

a+b = 0 ==> a = -b

-as -br = 1 ==> bs - br = 1 ==> b(s-r) = 1 ==>b[-1+sqrt(6)/2 +1 + sqrt(6)/2] =1 ==>

b·sqrt(6) = 1 ==>

b = 1/sqrt(6)

a = -1/sqrt(6)

Y las dos integrales simples son:

$[-1/sqrt(6))]dx/(x-s) = -ln|x-s| / sqrt(6)

$[1/sqrt(6))]dx/(x-r) = ln|x-r| / sqrt(6)

Recuerdo que había (-1/2) de factor fuera de la integral, con lo cual esta es:

[ln|x-r|-ln|x-s|]/[2sqrt(6)] + C

Ahora hay a quien le gusta aplicar las propiedades de los logaritmos y lo deja como

ln|(x-r)/(x-s)| / [2sqrt(6)] + C =

ln|(x+1+sqrt(6)/2) / (x+1-sqrt(6)/2)| / [2sqrt(6)] + C =

ln|(2x+2+sqrt(6)) / (2x+2-sqrt(6)| / [2sqrt(6)] + C

Y eso es todo.