Si S1 y S2 son subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial real V

No, la unión no es la suma ni la suma directa de espacios vectoriales. La unión es la unión, es decir, tomar los vectores de un espacio y los del otro y ponerlos juntos.

Por ejemplo en el plano toma las rectas x=0 e y=0 que son dos espacios de dimensión 1

S1 = {(0,t) | t € R}

S2 = {(t,0) | t € R}

S1 U S2 = {(0,t) , (t,0) | t € R}

Entonces puedes ver que todo elemento de la unión tiene 0 en la coordenada primera o en la segunda.

Si tomas por ejemplo los vectores (0,1) y (1,0) pertenecientes a la unión y los sumas tendrás el vector (1,1) que no pertenece a la unión. Luego la unión no es un espacio vectorial, ya que falla la condición primera de que la suma de vectores sea una operación interna.

Luego la respuesta es falso.

Y eso es todo.