Aplicar transformada Z a la ecuación
Tengo la siguiente ecuación:
Según el profesor para poder continuar el ejercicio, lo mas cómodo es pasar la z arriba en este punto:
Ahora en teoría debería de aplicar la (TRANSFORMADA Z) que es algo muy parecido a la (TRANSFORMADA DE LAPLACE), mediante la siguientes tablas:
Yo no se como aplicarlo en este ejercicio.
Los pocos ejercicios y mucho mas sencillos que hemos visto en clase, bastaba con aplicar la transformada z y ya esta, pero en este tengo el resultado y no se el como ni el porque pero el resultado se expresa en unos rangos separados de valores de (k), siendo que hasta el momento no ha aparecido ninguna (k) por ningún sitio.
Te agradecería mucho si me pudieras indicar como se resuelve esto y el debido a que, el resultado se expresa asi con esos rangos de (k).
Siento las molestias.
1 Respuesta
La transformada Z es lineal luego podemos calcular la de cada fracción por separado y se pueden sacar fuera las constantes que convenga.
Empezamos por la segunda fracción es muy sencilla
(10z) / (z-1) = 10[z/(z-1)]
Y la transformada z inversa es
10u(n)
Donde u(n) es el escalón unitario.
La primera fracción tiene la forma de ser la inversa de a^k·cos(bk) vamos a hacer las modificaciones necesarias
$$\begin{align}&\frac{-10z^2+3z}{z^2-1.2z+0.7}=\\ &\\ &\\ &-10\left(\frac{z^2-\frac {3}{10}z}{z^2-1.2z+0.7} \right)=\\ &\\ &\text{Debemos calcular a y b en el denominador}\\ &\text{a es claramente }\sqrt 7\\ &\\ &-10\left(\frac{z^2-\frac {3 }{10 }z}{z^2-\frac 22 1.2 \frac{\sqrt {0.7}}{\sqrt{0.7}}z+(\sqrt{0.7})^2} \right)=\\ &\\ &y \;\cos b= \frac{1.2}{2 \sqrt 7}=\frac{0.6}{\sqrt 7}=\frac{0.6 \sqrt 7}{7}= \frac{3 \sqrt 7}{35}\\ &\\ &\\ &=-10\left(\frac{z^2-\frac {3 }{10 }z}{z^2-2 \sqrt 7\;z\left(\frac{3 \sqrt 7}{35}\right) +(\sqrt{0.7})^2} \right)=\\ &\\ &\text{Sumamos y restamos az·cosb en el numerador}\\ &\\ &\\ &=-10\left(\frac{z^2 -\sqrt 7\;z\left(\frac{3 \sqrt 7}{35}\right)+\sqrt 7\;z\left(\frac{3 \sqrt 7}{35}\right)-\frac {3 }{10 }z}{z^2-2 \sqrt 7\;z\left(\frac{3 \sqrt 7}{35}\right) +(\sqrt{0.7})^2} \right)=\\ &\\ &\\ &=-10\left(\frac{z^2 -\sqrt 7\;z\left(\frac{3 \sqrt 7}{35}\right)}{z^2-2 \sqrt 7\;z\left(\frac{3 \sqrt 7}{35}\right) +(\sqrt{0.7})^2} \right)+\\ &\\ &-10\left(\frac{+\sqrt 7\;z\left(\frac{3 \sqrt 7}{35}\right)-\frac {3 }{10 }z}{z^2-2 \sqrt 7\;z\left(\frac{3 \sqrt 7}{35}\right) +(\sqrt{0.7})^2} \right)=\\ &\\ &\\ &\text{La primera ya está preparada}\\ &\\ &=-10 (\sqrt 7)^k \cos \left[arcos \left(\frac{3 \sqrt 7}{35}\right)·k\right]\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$La segunda fracción tendrá que esperar, el ordenador ya no puede escribir más en el editor de ecuaciones, aparte tengo que hacer otra cosa.
No se puede usar el editor de ecuaciones. Si hacemos operaciones el numerador de la queda obtenemos 3z/5 eso nos hace pensar que debemos ponerla como una transformada de a^k·sen(bk).
a=sqrt(7)
cosb = 3sqrt(7)/35
El numerador de la transformada Z es
a·z·sen(b) = sqrt(7)·z·sqrt (1 - 63 / 35^2)=
sqrt(7)·z·sqrt(1162)/35 =
sqrt(7)·z· sqrt(7)·sqrt(166)/35
z·sqrt(166)/5
nosotros tenemos 3z/5
hallemos el x tal que 3/5 = x·sqrt(166)/5
x = 3/sqrt(166) =3sqrt(166)/166
Esta constante la sacaremos fuera y lo que queda dentro es una transformada perfecta
Luego la transformada inversa de la segunda fracción es
(-10)·[3sqrt(166)/166] ·[sqrt(7)]^k · sen{arccos[3sqrt(7)/35]·k)
Y sumando la que era 10u(n) con la que puse al terminar la pregunta anterior y con esta obtenemos la transformada inversa. Creo que estas 2 ultimas también tienen u(n) multiplicándolas.
Uff, esto he visto que se emplea en electrónica, en matemáticas no lo había estudiado.
Y eso es todo.
Hola, perdona las molestias, pero le he estado dando vueltas y no lo acabo de ver muy claro.
Ademas cuando te escribí la pregunta inicial te comente que tenia la respuesta y no se porque no salio la imagen, te la pongo ahora para que puedas verla y me digas como podría llegar a esto:
Me lo podrías aclarar por favor.
Gracias.
Yo creo que lo he hecho bien en base a la poca teoría que me has dado. Si la respuesta que te dan es tan distinta es porque habrán usado otro método que desconozco. Esto lo usan más los físicos que los matemáticos.
Si miras está página verás otra respuesta
<a>http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+Z+transform+calculator%28%28-10z^2%2B3z%29%2F%28z^2-1.2z%2B0.7%29%2B10z%2F%28z-1%29%29</a>
que es esta
-10. (-1.+0.242536 2.^(-n-1.5) ((5.83095+3. i) (1.2-1.16619 i)^n+(5.83095-3. i) (1.2+1.16619 i)^n))
¿Están bien las tres, dos, una o ninguna? Es muy difícil averiguarlo
He evaluado la inversa para k = 4 ( o n=4 en la de Wolfran) los resultados han sido
Respuesta tuya 0.958
Respuesta Wolfran 14.768
Luego me parece que esa respuesta que te han dado no está bien.
Yo sin la teoría e incluso ejemplos que hayas dado no puedo hacer más. Ya tuve mucho valor cuando me puse a hacerla.
